解直角三角形的应用
一、教学目标。
1、理解解直角三角形在实际生活中的广泛应用。
2、根据已知条件如何把实际问题转化为解直角三角形的问题。
3、加强培养学生转化问题的能力，能根据题意画出几何图形，建立数学模型。
二、重点、难点。
重点：仰角和俯角、方位角和方向角、坡度和坡比有关问题的几种类型。
难点：如何把生活中的实际问题转化为解直角三角形的问题。
三、考点分析。
这部分知识可以出现在选择题、填空题中，也可以出现在大题解答题、或大题中的一问去考查，考查方式非常灵活。
四、解决疑难问题及注意事项。
1、解直角三角形的应用范围及一般解法的步骤：
解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，可以概括为以下几方面：度量工作、工程建筑 、测量距离等。
2、解这类问题的一般步骤：
1）弄清题目中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡比、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型。
2）将实际问题中的数量关系转化为直角三角形元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形。
3）寻找基础直角三角形，并解这个直角三角形。
例题1】基础型】：如图，两建筑物ab和cd的水平距离为30米，从a点测得d点的俯角为30°，测得c点的俯角为60°，则建筑物cd的高为多少米？
延伸型】．1.小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图，出发时，在b点他观察到仓库a在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达c点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为多少千米．（参考数据：['altimg':
w': 27', h': 29'}]1.
732，结果保留两位有效数字）.
2.如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽ad＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽bc.
例题2】基础型】：某公共场所准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由[',altimg': w':
34', h': 25'}]减至[',altimg': w':
34', h': 25'}]楼梯高度不变），已知原楼梯长度，那么调整后的楼梯会增加多长？楼梯多占了多长一段地面？
（结果可用根式表示）
延伸型】在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点a处观测到河对岸水边有一点 c，测得c在a北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达b处，测得c在b北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈[altimg': w':
16', h': 43'}]sin31°≈[altimg': w':
16', h': 43'}]
例题3】基础型】：某山区计划修建一条通过小山的公路，经测量，如图25—4—1所示，从坡底到坡顶的坡度是[',altimg': w':
34', h': 25'}]斜坡长为100米。根据地形，要求修好后的公路路面的坡比是1:
5（假设、两点处于同一铅直线上）。为减少工程量，若，则直接开挖修建公路：若>20米，就要重新设计。
问这段公路是否需要重新设计？
延伸型】一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求。试求出改造后坡面的坡度是多少？
1. 在a处观察b处时的仰角为36°，那么在b处观察a处时的俯角为。
2. 某水库大坝的横截面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1： [altimg': w': 27', h': 29'}]坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为
3.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中ab、cd分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠abc=135°，bc的长约是5 2m，则乘电梯从点b到点c上升的高度h是m
4.如图，在湖边有一建筑物和烟囱，某人在建筑物ab的顶a处测得烟囱cd的顶c的仰角为45°，测得c在湖中的倒影e的俯角为60°，已知ab=20米，求烟囱cd的高．（结果保留根号）
5.如图，a、b两地之间是一座山，现准备修一条隧道，在a地测得隧道北偏东51°，如果a、b两地同时开工，那么在b地应按（方位角）方向施工才能使隧道准确接通．
6.如图，某船在海上航行中遇险发出呼救信号，我海上救生艇在a处获悉后，立即测出该船在方位角45°方向，相距10海里的c处，还测得该船正沿方位角105°的方向以每小时9海里的速度行驶，救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，则救生艇与呼救船在b处相遇所需的最短时间为多少？
7.如图，某同学在大楼ad的观光电梯中的e点测得大楼bc楼底c点的俯角为45°，此时该同学距地面高度ae为20米，电梯再上升5米到达d点，此时测得大楼bc楼顶b点的仰角为37°，求大楼的高度bc．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
8.如图，甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度．
9.如图，货轮在海上以36海里/小时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线。
的水平角）为152°的方向航行．为了确定船位，在b点处观测到灯塔a的方位角为122°．半小时后，货轮到达c点处，观测到灯塔a的方位角为32°．求此时货轮与灯塔之间的距离。
10.一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离。
15海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
1）求角α的正弦值；
2）求缉私艇追上走私船所需的时间．
11..如图，斜坡ac的坡度（坡比）为1：['altimg':
w': 27', h': 29'}]ac=10米．坡顶有一旗杆bc，旗杆顶端b点与a点有一条彩带ab相连，ab=14米．试求旗杆bc的高度．
12.如图，某堤坝的横截面是梯形abcd，背水坡ad的坡度i（即tanα）为1：1.
2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶cd加宽1米，形成新的背水坡ef，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米．
1）求完成该工程需要多少土方？
2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？
直击中考】2005黄石）初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图a、d是人工湖边的两座雕塑，ab、bc是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，b点在a点北偏东60°方向，c点在b点北偏东45°方向，c点在d点正东方向，且测得ab=20米，bc=40米，求ad的长．（[altimg': w': 27', h':
29'}]1.732，['altimg': w':
26', h': 29'}]1.414，结果精确到0.
01米）
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