一、知识概要。
一、特色图形三等角。
在我们碰到的很多几何图形中常常会不知不觉地看到这样的图形：
它们有一个共同特点就是：在一条直线上有三个角相等。
即：∠b=∠ace=∠c
在这个条件下，∵∠b+∠a=∠ace+∠ecd
a=∠ecd
又∵∠b=∠c
abc∽△cde
在这种条件下，我们就可以很顺利地得到关于x与y的关系式了。
二、精解名题。
例1】（08年嘉定区一模）如图，在中，，，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持。
若点**段上（如图），且，求线段的长；
若，，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域。
例2】（08年嘉定区一模）正方形的边长为（如图2），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持。当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.
例3】（2023年上海中考试题）已知在梯形abcd中，ad∥bc，ad＜bc，且ad＝5，ab＝dc＝2．
1）如图8，p为ad上的一点，满足∠bpc＝∠a．
①求证；△abp∽△dpc；②求ap的长．
2）如果点p在ad边上移动（点p与点a、d不重合），且满足∠bpe＝∠a，pe交直线bc于点e，同时交直线dc于点q，那么。
当点q**段dc的延长线上时，设ap＝x，cq＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
当ce＝1时，写出ap的长（不必写出解题过程）．
三、巩固练习。
1、（09年徐汇区模考试卷）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．
1）当时，求的长。
2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，求的长。
3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长．
2、如图，等边△abc中，边长为6，d是bc上动点，∠edf=60°
1）求证：△bde∽△cfd
2）当bd=1，fc=3时，求be 。
四、自我测试。
1、把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．
1）如图9，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．
2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中。
问的值是否改变？说明你的理由．
3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．
2、如图，在矩形abcd中，ab = 4，bc = 3，点e是边cd上任意一点（点e与点c、d不重合），过点a作af⊥ae，交边cb的延长线于点f，联结ef，交边ab于点g．设de = x，bf = y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果ad = bf，求证：△aef∽△dea；
（3）当点e在边cd上移动时，△aeg能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段de的长；如果不能，请说明理由．
3、如图十二，在边长为1的正方形abcd中，点e在边bc上(与端点不重合)，点f在射线dc上．
1）若af=ae，并设=x，△aef的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
2）当的长度为何值时，△aef和△ecf相似？
3）若，延长fe与直线ab交于点g，当cf的长度为何值时，△eag是等腰三角形？
4、如图，已知在梯形abcd中，ad∥bc，ab=cd=5，，，p是边bc上的一个动点，∠apq=∠b，pq交射线ad于点q．设点p到点b的距离为x，点q到点d的距离为y．
1）用含x的代数式表示ap的长．
2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
3）△cpq与△abp能否相似？如果能，请求出bp的长；如果不能，请说明理由．
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