九年级数学寒假作业二

九年级数学寒假作业二（最值问题）

几何基本模型】

条件：如下左图，、是直线同旁的两个定点．

问题：在直线上确定一点，使的值最小．

方法：作点关于直线的对称点，连结交于。

点，则的值最小。

例题：**：在河的同侧有两村庄，现要在河边l建一泵站p分别向a、b两村庄同时供水，要使泵站p到a村、b村的距离之和最短，确定泵站p的位置。

当a、b两村庄到河边的距离分别为1km、3km,a村到b村得距离为5km,求pa+pb的最小值。

一、填空。1 如图，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点．连结，由正方形对称性可知，与关于直线对称．连结交于，则的最小值是___

2、如图，正方形abcd的边长为8，m在dc上，且dm＝2，n是ac上的一动点，dn＋mn的最小值为。

3、如图，在锐角△abc中，ab＝4，∠bac＝45°，∠bac的平分线交bc于点d，m、n分别是ad和ab上的动点，则bm+mn的最小值是___

4 如图4，，是内一点，，分别是上的动点，则周长的最小值为。

5、已知⊙o的直径cd为4，∠aod的度数为60°，点b是的中点，在直径cd上找一点p，使bp+ap的值最小，并求bp+ap的最小值．

6、如图，点p关于oa、ob的对称点分别为c、d，连接cd，交oa于m，交ob于n，若cd＝18cm，则△pmn的周长为___

7、如图，mn是半径为1的⊙o的直径，点a在⊙o上，∠amn＝30°，b为an弧的中点，p是直径mn上一动点，则pa＋pb的最小值为( )

8长方体abcd—中，ab=4， =2，ad=1，有一只小虫从顶点d′ 出发，沿长方体表面爬到b点，问这只小虫爬行距离最短为。

9景泰蓝厂的工人师傅要给一个底面半径为2，高为10的圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在a点，绕一周之后终点为b点，金线的用量最少为___

10有一底面半径为3，高为4的圆锥如下图，a、b在同一母线上，b为ao的中点，试求以a为起点，以b为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线长为。

11如图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的a点爬到桶内的b点去寻找食物，已知a点沿母线到桶口c点的距离是12厘米，b点沿母线到桶口 d点的距离是8厘米，而c、d两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，则爬行路程总长是___

12如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从p点开始经过4个侧面爬行一圈到达q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为。

13已知抛物线y=x2-2x-3,与x轴相交于点a、b两点（点a在点b的左边），与y轴相较于点c，p为抛物线。

对称轴上的一点，则△opc的周长的最小值是。

14、如图，∠mon=90°，矩形abcd的顶点a、b分别在边om，on上，当b在边on上运动时，a随之在边om上运动，矩形abcd的形状保持不变，其中ab=2，bc=1，运动过程中，点d到点o的最大距离为( )

a． b． c． 5 d．

15、如图，点a的坐标为（-1，0），点b在直线上运动，当线段ab最短时，点b的坐标为( )

a.（0，0） bc.（，d.（，

16、如图，△abc中，∠bac=60°，∠abc=45°，ab=2，d是线段bc上的一个动点，以ad为直径画⊙o分别交ab，ac于e，f，连接ef，则线段ef长度的最小值为。

17、如图，⊙o的半径为2，点o到直线l的距离为3，点p是直线l上的一个动点，pq切⊙o于点q，则pq的最小值为( )

abc．3d．2

18、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点。

c处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点a处，则蚂蚁到达蜂蜜的最。

短距离为cm．

19、如图，线段ab的长为2，c为ab上一个动点，分别以ac、bc为斜边在ab的同侧作两个等腰直角三角形△acd和△bce，那么de长的最小值是．

20、已知⊙o的半径为1，圆心o到直线l的距离为2，过l上的点a作⊙o的切线，切点为b，则线段ab的长度的最小值为( )

a．1bcd．2

21、如图，已知线段oa交⊙o于点b，且ob=ab，点p是⊙o上的一个动点，那么∠oap的最大值是( )

a．30° b．45° c．60° d．90°

22．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形abcde，其中af=2，bf=l，在ab上的一点p，使矩形pndm有最大面积，则矩形pndm的面积最大值是( )

a．8 b．12 c． d．14

23．如图，ab是半圆的直径，线段ca上ab于点a，线段db上ab于点b，ab=2；ac=1，bd=3，p是半圆上的一个动点，则封闭图形acpdb的最大面积是( )

a． b． c． d．

24.已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．

25.已知。若，则的最小值是 ;

二、解答题。

1．先阅读材料，再解答问题：

小明同学在学习与圆有关的角时了解到：在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等．如图，点a、b、c、d均为⊙o上的点，则有∠c=∠d．小明还发现，若点e在⊙o外，且与点d在直线ab同侧，则有∠d>∠e．

请你参考小明得出的结论，解答下列问题：

1) 如图1，在平面直角坐标系xoy中，点a的坐标为(0,7)，点b的坐标为(0,3)，点c的坐标为(3,0) ．

①在图1中作出△abc的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；

若在轴的正半轴上有一点d，且∠acb =∠adb，则点d的坐标为；

(2) 如图2，在平面直角坐标系xoy中，点a的坐标为(0,m)，点b的坐标为(0,n)，其中m>n>0．点p为轴正半轴上的一个动点，当∠apb达到最大时，直接写出此时点p的坐标．

2、如图所示，在菱形abcd中，ab=4，∠bad=120°，△aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bc．cd上滑动，且e、f不与b．c．d重合．

1）证明不论e、f在bc．cd上如何滑动，总有be=cf；

2）当点e、f在bc．cd上滑动时，分别**四边形aecf和△cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

3、如图，在△abc中，点d、e分别在边bc、ac上，连接ad、de，且∠1=∠b=∠c．

1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）

答：结论一：；结论二：；结论三：．

2）若∠b=45°，bc=2，当点d在bc上运动时（点d不与b、c重合），求ce的最大值；

若△ade是等腰三角形，求此时bd的长．

注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）

4、如图，在△abc中，已知ab=ac=5，bc=6，且△abc≌△def，将△def与△abc重合在一起，△abc不动，△abc不动，△def运动，并满足：点e在边bc上沿b到c的方向运动，且de、始终经过点a，ef与ac交于m点．

1）求证：△abe∽△ecm；

2）**：在△def运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出be的长；若不能，请说明理由；

3）当线段am最短时，求重叠部分的面积．

5、如图，已知半径为2的⊙o与直线l相切于点a，点p是直径ab左侧半圆上的动点，过点p作直线l的垂。

线，垂足为c，pc与⊙o交于点d，连接pa、pb，设pc的长为。

⑴当时，求弦pa、pb的长度；

当x为何值时，的值最大？最大值是多少？

6、．在rt△abc中，∠acb=90°，∠abc=，点p在△abc的内部．

1) 如图1，ab=2ac，pb=3，点m、n分别在ab、bc边上，则cos=__pmn周长的最小值为___

2) 如图2，若条件ab=2ac不变，而pa=，pb=，pc=1，求△abc的面积；

3) 若pa=，pb=，pc=，且，直接写出∠apb的度数．

7、阅读材料：

例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．

解：，如图，建立平面直角坐标系，点p（x，0）是x轴上一点，则可以看成点p与点a（0，1）的距离，可以看成点p与点b（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段pa与pb长度之和，它的最小值就是pa＋pb的最小值．

设点a关于x轴的对称点为a′，则pa=pa′，因此，求pa＋pb的最小值，只需求pa′＋pb的最小值，而点a′、b间的直线段距离最短，所以pa′＋pb的最小值为线段a′b的长度．为此，构造直角三角形a′cb，因为a′c=3，cb=3，所以a′b=3，即原式的最小值为3。

1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点p（x，0）与点a（1，1）、点b 的距离之和．（填写点b的坐标）

2）代数式的最小值为．

8、如图，已知⊙o的半径为2，弦bc的长为2，点a为弦bc所对优弧上任意一点（b，c两点除外）．

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