八、概率。
一、选择题。
1.（浙江理9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率。
abcd答案】b
2.（四川理1）有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是。
abcd．答案】b
解析】从到共有22，所以。
3.（陕西理10）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是。
a． b． c． d．
答案】d4.（全国新课标理4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为。
a） （b） （c） （d）
答案】a5.（辽宁理5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件a=“取到的2个数之和为偶数”，事件b=“取到的2个数均为偶数”，则p（b︱a）=
a） （b） （c） （d）
答案】b6.（湖北理5）已知随机变量服从正态分布，且ｐ（＜4）＝，则ｐ（0＜＜2）＝
ａ．0．6 b．0．4 c．0．3 d．0．2
答案】c7.（湖北理7）如图，用k、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知k、、正常工作的概率依次为．8，则系统正常工作的概率为。
a．0．960 b．0．864c．0．720 d．0．576
答案】b8.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为。
abcd．答案】d
9.（福建理4）如图，矩形abcd中，点e为边cd的中点，若在矩形abcd内部随机取一个点q，则点q取自△abe内部的概率等于。abcd．
答案】c二、填空题。
10.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为结果用最简分数表示）
答案】11.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于___
答案】12.（浙江理15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记x为该毕业生得到面试得公司个数。
若，则随机变量x的数学期望
答案】13.（湖南理15）如图4，efgh 是以o 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随。
机地扔到该图内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”， b表示事。
件“豆子落在扇形ohe（阴影部分）内”，则。
1）p（a2）p（b|a
答案】（1）
14.（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表。
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案。
答案】215.（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率。
答案】16.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是默认每月天数相同，结果精确到）。
答案】17.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为。
答案】18.（江苏5）5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为___
答案】三、解答题。
19.（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
ⅰ）求当天商品不进货的概率；
ⅱ）记x为第二天开始营业时该商品的件数，求x的分布列和数学期型。
解（i）（“当天商品不进货”）（当天商品销售量为0件”）（当天商品销售量为1件”）
ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.
（“当天商品销售量为1件”）
（“当天商品销售量为0件”）（当天商品销售量为2件”）（当天商品销售量为3件”）
故的分布列为。
的数学期望为。
20.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立。
ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；
ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识。
解：（i）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于。
（ii）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量x的分布列为
所需派出的人员数目的均值（数学期望）ex是。
（iii）（方法一）由（ii）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值。
下面证明：对于的任意排列，都有。
事实上，即（*）成立。
（方法二）（i）可将（ii）中所求的ex改写为若交换前两人的派出顺序，则变为。由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值。
（ii）也可将（ii）中所求的ex改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为。由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值。
序综合（i）（ii）可知，当时，ex达到最小。 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的。
21.（北京理17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示。
（ⅰ）如果x=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（ⅱ）如果x=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树y的分布列和数学期望。
（注：方差，其中为，，…的平均数）
解：（1）当x=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为。
方差为。ⅱ）当x=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：
9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数y的可能取值为17，18，19，20，21事件“y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此p（y=17）=
同理可得。所以随机变量y的分布列为：
ey=17×p（y=17）+18×p（y=18）+19×p（y=19）+20×p（y=20）+21×p（y=21）=17×+18×+19×+20×+21×
22.（福建理19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数x依次为1,2，……8，其中x≥5为标准a，x≥为标准b，已知甲厂执行标准a生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准b生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准。
i）已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示：
且x1的数字期望ex1=6，求a，b的值；
ii）为分析乙厂产品的等级系数x2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数x2的数学期望．
（iii）在（i）、（ii）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
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