2011．5．15
考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上；
不准使用计算器；
考试用时120分钟，全卷满分150分．
一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知函数，若，则的值为( )
abcd．
2．已知数列的通项公式，设其前n项和为，则使成立的自然数有（ ）
a．最大值15 b．最小值15 c．最大值16 d．最小值16
3．如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（ ）
a．3b．1cd．
4．设，则的大小关系是。
ab． cd．
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．
5．若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是。
6．在棱长为1的正方体内任取一点，则点到点的距离不大于1的概率为 *
7．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于 *
8．在△abc中，若，则 *
9．在上定义运算若不等式对任意实数成。
立，则的取值范围是。
10．面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则 *
三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．（15分）已知向量，，设函数． （1）求函数的最大值，并求取得最大值时的值；
2）在为锐角的中，、、的对边分别为、、，若且的面积为，，求的值．
12．（15分）如图，已知多面体abcde中，ab⊥平面acd，de⊥平面acd，ac＝ad＝cd＝de＝2a，ab＝a，f为ce的中点．
（1）求证bf⊥平面cde； （2）求多面体abcde的体积；
（3）求平面bce和平面acd所成的锐二面角的大小．
13．（ 20分）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为．
1）若，求椭圆的方程；
2）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点． 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围．
14．（ 20分）设无穷等差数列的前项和为，求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数都有成立．
15．（ 20分）定义在r上的函数r且） 是奇函数，当时，取得最大值． （1）求的值；
2）设曲线在点处的切线与y轴的交点为，求实数的取值范围．
参***与评分标准。
说明：1．参***与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参***不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：每小题6分，满分24分．
1．c2．d3．c4．b
二、填空题：每小题6分，满分36分．
简答与提示：
4．因为，所以，又因为，所以，选（b）．
三、解答题：满分90分．
11．解：（1）
当，即（）时，有最大值为．
2），．可得： ，解得． ，可得．
12．（1）证明：取cd的中点g，连ag，fg，则有．∴agbf．
又△acd为正三形，∴ag⊥cd．
又de⊥平面acd，fg⊥平面acd，fg⊥ag．
ag⊥平面cde．
bf⊥平面ced．
2）解： 3）解：由（1）知，延长da，eb交于点p，连pc，则可证得a，b分别为pd，pe的中点，
pc∥bf∥ag，pc⊥平面cde．
∠dce为平面bce和平面acd所成二面角的平面角．
又∠dce＝45°，所以平面bce和平面acd所成的锐二面角为45°．
13．解：（1）由题意得，得．
结合，解得，．
所以，椭圆的方程为．
2）由得．
设，所以，进而．
因为点、的坐标分别为、，依题意，所以，即．
即，即， 因为，所以．
将其整理为．
因为，所以，．
所以，即．
14．解：设无穷等差数列的公差为，则，
所以， 且．
因为对于一切正整数都成立，所以
由①，可得或．
当时，由④得，或，且同时满足②③．
当时，由②得，且同时满足③④．
当时，由②得，且同时满足③④．
综上所述，共有5个满足条件的无穷等差数列：
15．解：（1）∵函数是奇函数，， 即，化简得对于任意xr都成立．
若， 则函数的定义域不可能是r， 故．
当时，； 当时，，
当且仅当即时，取得最大值．
即． 2）依题意得……①
又∵曲线在处切线方程为。
切线与y轴交于点，，化简得，②代入化简得．
又∵，令，解得，列表如下。
当时， ．时，函数取得唯一的极大值，也是最大值．
当时， 时，函数取得唯一的极小值，也是最小值．
的取值范围是．
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