2023年长安大学数学建模竞赛题目

2011长安大学数学校内建模竞赛题目。

请严格遵守对**格式的统一要求）

a题：交通量优化配置。

某区域道路网络如图1所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有n辆车要从节点1出发，目的地是节点0（假设该时间段内，路网中没有其它车辆）。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。

1）确定有效的行驶路径及其算法；

2）确定每条路径上的通过的车辆数，使n辆车从节点1到节点0的总行驶时间最小；

3）n=10000，请给出具体的计算结果。

注：横向路段长度是纵向路段长度的2倍。

图1 某区域道路网络图。

解答：1、确定行驶速度与截面经过的车辆数的关系，能大概反应这种关系就可以；

2、给出有效行驶路径（不走回头路的路径，具体定义要由学生给出）的算法；

3、引入各条路经车辆数比例变量，描述各路段的截面车辆数，确定个路段内车辆的行驶速度；

4、根据目标，建立规划模型（非线性）；

5、求解，可以各自发挥，得到比较近似的解就可以。

b题：水量计算问题。

辐射井是由一口大口径的竖井和自竖井内周围含水层任意方向、高程打进一层数条水平辐射管组成，地下水沿水平辐射管汇集到竖井中。辐射井与常规井相比，具有出水量大、寿命长、管理费用低、维修方便、便于集中管理等优点。从20世纪60年代以来，辐射井技术已在我国推广应用。

如辐射井在华北深基坑工程降水中，取得了较好的效果。随着北京东直门地铁站采用辐射井降水技术取得成功，目前辐射井技术在地铁施工又发挥着重要作用。

辐射井的出水量，是设计和布置辐射井工作中所需要解决的问题之一。试在下列假定条件下：

1）潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的压缩性。

2）潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。

3）垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性。

4）竖井的直径3.5米。水平辐射管的长度为120米，8根辐射管均匀的分布在距隔水底板1.2米平面上，辐射管的直径为0.12米。如图2（辐射井平面布设图）。

(5)该黄土含水层的渗透系数在(米/小时),孔隙比（含水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）为0.75%。

6）实验知，辐射井的地下水降落曲线在水平集水管（辐射管）延伸范围内，呈凹形的抛物线，近井处水力坡度平缓，远处陡峭。在辐射管的端点，水力坡度陡峭曲线出现凹凸拐点。在辐射管延伸范围以外，降落曲线改变成凸形的抛物线，水力坡度由陡变缓。

如图1（辐射井工作状况纵剖面图）；

要求：1) 设计构造辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公式。

2) 建立辐射井水量计算模型。

3) 利用所给数据1，2，3对建立公式、模型进行分析检验。

图1（辐射井工作状况纵剖面图）

图2（辐射井平面布设图)

注：图2中射线为两根相邻辐射管的角平分线，实质上也是两根相邻辐射管之间的水流分界线。）

数据1 ：抽水过程中主要观测孔（井）水位变换表。

数据2：数据3：观测孔（井）的位置简易图。

（注：观测孔n1 ,n2 ,n3 ，n5在同一条直线上，与x轴正向的夹角为180 ，观测井4与x轴正向的夹角为100 ）