第ⅰ卷（共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．已知，为虚数单位，且，则4
2．已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则。
3．用一组样本数据8，，10，11，9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差。
4．阅读下列程序：
read s1
for i from 1 to 5 step 2
ss+i end for
print s
end输出的结果是 ▲ 10
5．.当a，b∈时，在构成的不同直线ax－by＝0中，任取一条，其倾斜角小于45的概率是。
6. 已知正方形的坐标分别是，，动点m满足： 则。
7.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时。
8．已知定义在r上的奇函数在区间上单调递增，若，△的内角a满足，则a的取值范围是。
9.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第行有个。
数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：…，则第行第3个数字是。
答： ，10．若函数，其图象如图所示，则。
11．定义在上的函数满足＝，则的值为1
12．已知f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋x－a，若存在x0∈[－1，](a＞0)，使得f(x0)＜g(x0)，则实数a的取值范围是0，)
13．已知数列满足（为常数，），若。
则或12614．已知函数f(x)=，无论t取何值，函数f(x)在区间(-∞总是不单调．则a的取值范围是__▲
二、解答题：（本大题共6小题，共计90分）
15．(本题满分14分)
在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且。
⑴求的值；⑵求的值。
15解：（1），
2）由得，16. (本题满分14分)
如图，四边形abcd为矩形，ad⊥平面abe，ae＝eb＝bc＝2，f为ce上的点，且bf⊥平面ace．
1）求证：ae⊥be；
2）求三棱锥d－aec的体积；
3）设m**段ab上，且满足am＝2mb，试在。
线段ce上确定一点n，使得mn∥平面dae．
解 （1）∵ad⊥平面abe，ad∥bc，bc⊥平面abe，则ae⊥bc
又∵bf⊥平面ace，∴ae⊥bf，ae⊥平面bce．
又∵be平面bce，∴ae⊥be．
3）在三角形abe中，过m点作mg∥ae交be于g点，在三角形bec中，过g点作gn∥bc交ec于n点，连mn，则由比例关系易得cn
mg∥ae，mg平面ade, ae平面ade，mg∥平面ade，同理，gn∥平面ade，平面mgn∥平面ade．
又∵mn平面mgn，∴mn∥平面ade，n点为线段ce上靠近c点的一个三等分点．
17．(本题满分14分)
某商场对a品牌的商品进行了市场调查，预计2023年从1月起前个月顾客对a品牌的商品的需求总量件与月份的近似关系是：
1) 写出第月的需求量的表达式；
2)若第月的销售量 （单位：件），每件利润元与月份的近似关系为： ，问：该商场销售a品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（）
17．（本题满分14分）
解：（1）当时，当时，2）设月利润为。
当时，当时，当时，当时，综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大利润约为12090元。。。
18(本题满分16分)
已知椭圆的中心为坐标原点o，椭圆短半轴长为1，动点在直线上。
1）求椭圆的标准方程。
2）求以om为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
3）设f是椭圆的右焦点，过点f作om的垂线与以om为直径的。
圆交于点n，求证：线段on的长为定值，并求出这个定值。
解：（1）又由点m在准线上，得故，从而所以椭圆方程为
2）以om为直径的圆的方程为。
即其圆心为，半径。
因为以om为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离
所以，解得。
所求圆的方程为。
3） 设，则
所以，为定值
19、(本题满分16分)
已知，是函数图象上的两点，且。
点共线，且
1)求点坐标。
2)若求。3）若，记为数列前n项的和，若时，对一切都成立，试求的取值范围。
解（1）共线且，又。
令 20．(本题满分16分)
6、设，函数。
1) 当时，求曲线在处的切线方程；
2) 当时，求函数的最小值。
解（1）当时，令得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：。
（2）①当时，， 恒成立。 在上增函数。
故当时， 当时，）
i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时。
ii)当，即时，在时为负数，在间时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数。
故当时，，且此时。
iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。
综上所述，当时，在时和时的最小值都是。
所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为。
而，所以此时的最小值为。
当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。
所以函数的最小值为。
第ⅱ卷 （附加题，共40分）
1 已知矩阵，若矩阵a属于特征值1的一个特征向量为α1＝，属于特征值5的一个特征向量为α2=．求矩阵a，并写出a的逆矩阵．
解：由矩阵a属于特征值1的一个特征向量为α1＝可得，＝，即，由矩阵a属于特征值5的一个特征向量为α2＝，可得＝5，即，解得即a＝，a的逆矩阵是
2．已知曲线的参数方程为（其中为参数），是曲线上的动点，且是线段的中点，（其中点为坐标原点）， 点的轨迹为曲线，直线的方程为，直线与曲线交于两点。
1)求曲线的普通方程；
2)求线段的长。
解（1）； 2）
3. 如图，已知面积为1的正三角形abc三边的中点分别为d、e、f，从a，b,c,d，e，f六个点中任取三个不同的点，所构成的三角形的面积为x（三点共线时，规定x=0）（1）求；（2）求e（x）
3解：⑴从六点中任取三个不同的点共有个基本事件，
事件“”所含基本事件有，从而．
的分布列为：
则．答10分。
4．如图，过抛物线上一点p（1，-2）作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点（1）求的值；（2）若，求面积的最大值。
23解：．⑴因为，在抛物线上，所以， ，同理，依题有，因为，所以．
由⑴知，设的方程为，到的距离为，所以=
令，由，，可知．，因为为偶函数，只考虑的情况，记，，故在是单调增函数，故的最大值为，故的最大值为6．
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