北京市西城区高三数学（文科） 2013.4
1．已知全集，集合，，那么。
a）（b）（c）（d）
2．复数。a）（b）（c）（d）
3．执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角。
（a）（b）（c）（d）
4．设等比数列的公比为，前项和为，且．若，则的取值范围是。
a）（b）（c）（d）
5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）
视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表。
面积是。ab）
cd）6．设实数，满足条件则的最大值是。
a）（b）（c）（d）
7．已知函数，则“”是“，使”的。
a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件。
8．如图，正方体中，是棱的。
中点，动点在底面内，且，则。
点运动形成的图形是。
a）线段（b）圆弧（c）椭圆的一部分（d）抛物线的一部分。
9．已知向量，．若向量与垂直，则实数___
10．已知函数则___
11．抛物线的准线方程是___该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则___
12．某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件。
的长度数据 (单位：)全部介于至之间．
将长度数据以为组距分成以下组：，得到如图所示的频率分布直方图．若长。
度在内的元件为合格品，根据频率分布直。
方图，估计这批产品的合格率是___
13．在△中，内角，，的对边边长分别为，，，且．若，则△的面积是___
14．已知数列的各项均为正整数，其前项和为．若且，则。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）已知函数的一个零点是．
ⅰ）求实数的值；
ⅱ）设，求的单调递增区间．
16．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形， /
ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求四面体的体积；
ⅲ）线段上是否存在点，使//平面？
证明你的结论．
17．（本小题满分13分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．
ⅰ）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲。
停车付费恰为元的概率；
ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．
18．（本小题满分13分）已知函数，，其中．
ⅰ）求的极值；
ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．
19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．
ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率；
ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面。
积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．
20．（本小题满分13分）已知集合．
对于，，定义；
与之间的距离为．
ⅰ）当时，设，，求；
ⅱ）证明：若，且，使，则；
ⅲ）记．若，，且，求的最大值．
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