2.1.2 指数函数及其性质。
整体设计。教学分析。
有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质。
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：gdp的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。
后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生**分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学**与数学思维提供支持。
三维目标。1.通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。
2.让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
3.通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。
重点难点。教学重点：指数函数的概念和性质及其应用。
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用。
课时安排。3课时。
教学过程。第1课时指数函数及其性质(1)
导入新课。思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式，它是函数关系式吗？
若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y=()x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫指数函数，引出本节课题。
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2-2,16,27,49.再提问怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1, ,2,9, ,先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线。
点出本节课题。
思路3.在本章的开头，问题（2）中时间t和碳14含量p的对应关系p=［(t,如果我们用x表示时间，y表示碳14的含量，则上述关系可表示为y=［(x,这是我们习惯上的函数形式，像这种自变量在指数的位置上的函数，我们称为指数函数，下面我们给出指数函数的确切概念，从而引出课题。
推进新课。新知**。
提出问题。1.一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是y=0.84x)
2.某种细胞**时，由一个**成两个，两个**成四个，四个**成十六个，依次类推，一个这样的细胞**x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是y=2x)
提出问题。1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗？
2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？
3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?
4)为什么指数函数的定义域是实数集？
5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤。
活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决。
问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值。
问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量。
问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性。
问题(4)在(3)的规定下，我们可以把ax看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义。
问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式。
讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值，y都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x都在指数的位置上，它们的底数都大于0,但一个大于1,一个小于1.0.
84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x和y.
2)对于两个解析式y=0.84x和y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示，这样我们得到指数函数的定义：
一般地，函数y=ax(a>0,a≠1)叫做指数函数，其中x叫自变量，函数的定义域是实数集r.
3)a=0时，x>0时，ax总为0;x≤0时，ax没有意义。
a<0时，如a=-2,x=,ax=(-2) =显然是没有意义的。
a=1时，ax恒等于1,没有研究的必要。
因此规定a>0,a≠1.此解释只要能说明即可，不要深化。
4)因为a>0,x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集r.
5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数。
提出问题。1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？
2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象？说明它的步骤。
3)利用上面的步骤，作函数y=2x的图象。
4)利用上面的步骤，作函数y=()x的图象。
5)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？
6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？
7)把y=2x和y=()x的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？
8)你能证明上述结论吗？
9)能否用y=2x的图象画y=()x的图象？请说明画法的理由。
活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.
13及2.14,及**价学生，补充学生回答中的不足。学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图象及**，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识。
讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质。
2)一般是列表，描点，连线，借助多**手段画出图象，用计算机作函数的图象。
3)列表。作图如图2-1-2-1
图2-1-2-1
4)列表。作图如图2-1-2-2
图2-1-2-2
5)通过观察图2121,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数。图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点（0,1）,且y值分布有以下特点，x<0时00时y>1.
图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数。
通过观察图2122,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数。图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点（0,1）,x<0时y>1,x>0时0可以再画下列函数的图象以作比较，y=3x,y=6x,y=()x,y=()x.
重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形。
6）一般地，指数函数y=ax在a>1和0一般地，指数函数y=ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
7）在同一坐标系中作出y=2x和y=()x两个函数的图象，如图2-1-2-3.经过仔细研究发现，它们的图象关于y轴对称。
图2-1-2-3
8)证明：设点p(x1,y1)是y=2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是p1(-x1,y1),它满足方程y=()x=2-x,即点p1(-x1,y1)在y=()x的图象上，反之亦然，所以y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称。
9)因为y=2x和y=()x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处。
应用示例。思路1
例1判断下列函数是否是一个指数函数？
y=x2,y=8x,y=2·4x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx,y=6x3+2.
活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定**题，因为y=x2,y=2·4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式，教师强调y=ax的形式的重要性，即a前面的系数为1,a是一个正常数（也可是一个表示正常数的代数式）,指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式。
解：y=8x,y=(2a-1)x(a>,a≠1),y=(-4)x,y=πx是指数函数；y=x2,y=2·4x,y=6x3+2不是指数函数。
变式训练。函数y=23x,y=ax+k,y=a-x,y=()2x(a>0,a≠1)中是指数函数的有哪些？
答案：y=23x=(23)x,y=a-x=()x,y=()2x=［(2］x是指数函数。
例2比较下列各题中的两个值的大小：
1）1.72.5与1.73;(2)0.8-0.1与0.8-0.2;(3)1.70.3与0.93.1.
指数函数及其性质教案 第一课时
课题 2.1.2指数函数及其性质 第一课时 课型 新授课。一 教学目标 1 知识与技能。理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像 性质及其简单应用。2 过程与方法。通过教学，培养学生观察 分析 归纳等思维能力，体会分类讨论思想 数形结合思想以及从特殊到一般的学习方法，增强学生识图用图的能力。3 情感 ...
指数函数及其性质教案 第一课时
课题 2.1.2指数函数及其性质 第一课时 课型 新授课。一 教学目标 1 知识与技能。理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像 性质及其简单应用2 过程与方法。通过教学，培养学生观察 分析 归纳等思维能力，体会分类讨论思想 数形结合思想以及从特殊到一般的学习方法，增强学生识图用图的能力。3 情感 态...
指数函数及其性质教案 第一课时
课题 2.1.2指数函数及其性质 第一课时 课型 新授课。一 教学目标 1 知识与技能。理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像 性质及其简单应用。2 过程与方法。通过教学，培养学生观察 分析 归纳等思维能力，体会分类讨论思想 数形结合思想以及从特殊到一般的学习方法，增强学生识图用图的能力。3 情感 ...