3．1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引起的位移为：
为任意相位因子。并已知在较高温度下每个格波的平均能量为。具体计算每个原子的平方平均位移。
解：（１根据。
其中为振动周期，所以。
2） 第j个格波的平均动能。
3） 经典的简谐运动有：
每个格波的平均动能＝平均势能＝格波平均能量＝
振幅， 所以 。
而每个原子的平方平均位移为： 。
．２讨论n个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为），其２n个格波的解。当时与一维单原子链一一对应。
解：（１一维双原子链：
声学波： 当时，有。
光学波： 当时，有。
２）一维双原子链在时的解
与一维单原子链的解
是一一对应的。
3．5已知nacl晶体平均每对离子的相互作用能为：
其中马德隆常数平衡离子间距。
1） 试求离子在平衡位置附近的振动频率。
2） 计算与该频率相当的电磁波的波长，并与nacl红外吸收频率的测量只值进行比较。
解：（1）处理小振动问题，一般可采用简谐近似，在平衡位置附近，可将互作用能展开至偏差的二次方项。
其中为平衡条件。 由已知可确定：
根据（1）式，离子偏离平衡位置所受的恢复力为：
故恢复力常数为4）
对于离子晶体的长光学波，5）
将na 的原子质量，cl的原子质量，基本电荷电量代入上式，得。
2） 相对应的电磁波波长为。
对应与远红外波，与nacl红外吸收频率测量值在同一数量级。
注：如采用国际单位制进行计算，因在（2）式前乘一因子。
牛顿米2/库仑 ]
3．6 求出一维单原子链的频率分布函数。
解：一维单原子链的色散关系为：， 其中。
振动模式的数目：
所以 3．7设三维晶格的光学振动在附近的长波极限有：
求证：频率分布函数为
证明：由， 得。
故频率分布函数为
3．8有n个相同原子组成面积为的二维晶格，在德拜近似下，计算比热，并讨论在低温极限比热正比于。
解：（1）空间的状态密度为。
每个对应一个纵波，每个对应一个横波，。
所以范围的状态数应包括纵波和横波的状态数：
其中。由于晶格振动模数有限，则晶格振动最高频率由。
决定。由此得。
比热。令，, 德拜温度。
2）在低温极限 ， 与三维情况下的德拜律相对应。
3．10设晶体中每个振子的零点震动能，试用德拜模型求晶体的零点振动能。
解： 根据德拜理论，，可得晶格频率分布函数为。
存在，在范围的振动都可用弹性波近似，则根据自由度确定如下：
或。因此固体总的零点振动能为。
3．11一维复式格子，，（即，求：
1） 光学波，， 声学波。
2） 相应声子能量是多少电子伏特。
3） 在300时的平均声子数。
4） 与相对应的电磁波在什么波段。解：（1）
3）在相应的能量：
因此在室温只能激发声学声子，平均声子数为。
4）。此波长处在红外波段。
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