第三章习题。
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？
1）系统如图3.16所示：
解：由图可得：
状态空间表达式为：
由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
3）系统如下式：
解：如状态方程与输出方程所示，a为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。
要使系统能观，则c中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。
3-2时不变系统。
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一：
方法二：将系统化为约旦标准形。
中有全为零的行，系统不可控。中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数。
解：构造能控阵：
要使系统完全能控，则，即。
构造能观阵：
要使系统完全能观，则，即。
3-4设系统的传递函数是。
1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？
2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。
3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。
解：(1) 方法1 ：
系统能控且能观的条件为w(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
方法2：系统能控且能观的条件为矩阵c不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准i型。
3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准ii型为。
3-6已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解： 系统的状态空间表达式为。
传递函数为。
其对偶系统的状态空间表达式为：
传递函数为。
3-9已知系统的传递函数为。
试求其能控标准型和能观标准型。
解： 系统的能控标准i型为。
能观标准ii型为。
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
解： 3-11试将下列系统按能控性进行分解。
解：rankm=2<3，系统不是完全能控的。
构造奇异变换阵：，其中是任意的，只要满足满秩。
即得。3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解。
解： 由已知得。
则有。rank n=2<3，该系统不能观。
构造非奇异变换矩阵，有。
则。3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解。
解：由已知得。
rank m=3，则系统能控。
rank n=3，则系统能观。
所以此系统为能控并且能观系统。
取，则。则，，
3-14求下列传递函数阵的最小实现。
解：，，系统能控不能观。
取，则。所以，
所以最小实现为，，，
验证： 3-15设和是两个能控且能观的系统。
1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；
2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
解：1）和串联。
当的输出是的输入时，
则rank m=2<3，所以系统不完全能控。
当得输出是的输入时。
因为 rank m=3 则系统能控。
因为。rank n=2<3 则系统不能观。
2）和并联。
因为rank m=3，所以系统完全能控。
因为rank n=3，所以系统完全能观。
现代控制理论作业题答案
第九章线性系统的状态空间分析与综合。9 1 设系统的微分方程为。其中为输入量，为输出量。设状态变量，试列写动态方程 设状态变换，试确定变换矩阵及变换后的动态方程。解 得，9 2 设系统的微分方程为。其中 分别系统为输入 输出量。试列写可控标准型 即为友矩阵 及可观标准型 即为友矩阵转置 状态空间表达...
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