3.1 求如下周期序列的dfs：
1)的周期为4，且有。
2)的周期为6，且有。
3)的周期为8，且有。
解：3.2 已知的周期为4且有，另，求：
解：3.3 已知的周期为n，且。现令，求证：
解：3.4 若的dfs为，求证：
2) 如果为实序列，则。
解：3.5 若，，且，求证：
解：3.6 若的周期为n，其dfs为，现令该序列通过一线性移不变系统，系统的传递函数为h(z)，输出为，求证：
1)为周期序列且周期为n
解：3.7 已知的周期为n，其dfs为。 现令：
试利用表示。
解：当 k 为偶数时，当 k 为奇数时，3.8 已知的周期为n，其dfs为。 现令：
m为正整数且不为零。
试利用表示。
解：当 k=lm（其中 l 为正整数）时，3.9 求如下有限长序列的n点dft：
1) x(n) =n)
2) x(n)= n-n0) 0 < n0 < n
3) x(n) =ann=0，1，…，n-1）解：
3.10 有限长序列x(n)的波形由图p3.1给出，试画出有限长序列x1(n)和x2(n)的波形，其中：
x1(n)= x((n-2))4
x2(n)= x((2-n))4
解：3.11 图p3.2具体给出了的两个有限长序列的波形，求其6点循环卷积结果。
图 p3.2
解：3.12 若的长度为n，且，求证：
2) 如果为实序列，则。解：
2) 因为 x(n) 为实数，所以。
3.13 已知的长度为n，且，求证：
1) 若，则；
2) 若n为偶数且，则；
解：1) 因为。
当 n 为偶数时，令 n =2m，则：
当 n 为奇数时，令 n =2m-1，则：
2) 因为，且 n 为偶数，所以。
3.14 若的长度为n，且，求证：
解：当 k=0 时，当 0如果 n≠n-k，则。
如果 n=n-k，则。
所以，总上得：
3.15 已知序列，现令：，求有限长序列 idft。解：所以。
3.16 已知的长度为n，且，现令：
求y(n)的2n点dft。
解：所以，3.17 已知序列的长度为8，其8点dft结果如图p3.
3(a)所示。就下述各序列而言，分别确定在图p3.3(b)至图p3.
3(f)中，哪张图能反映其16点dft结果：
解：1)，故选图 p3.3(c)
2) 根据题 3-16解，有。
故选图p3.3(b)。
故选图p3.3(f)
3.18 现有一序列， （其z 变换为；又有一有限长序列，，且其点dft为。若存在：
求序列同之间的关系。解：因为。
所以。3.19 现存在两个有限长序列（）和（），其20点循环卷积结果为，而其线性卷积结果为，问：
1)中哪些点与相同；
2) 需要进行多少点循环卷积才能保证和完全相同。
解：1) 7~19 点（从 0 点开始）
2) 27 个点（详见本章 3.5节）
3.20 存在一fir滤波器，其的长度为50。现要求利用重叠保留法来实现这种滤波器，并约定：
（1）相邻的各段输入重叠个点；（2）每一段输出的长度为 m。若各段输入的长度为100，循环卷积的点数为128，求：
2) m；3) 所输出的 m 个点在 128 点循环卷积结果中的位置。解：
2) 各段长度为 100，所以 m=100-49=51
3) 输出的 51 个点在卷积结果的 49~99 之间（从 0 点算起）
3.21 已知某 fir 滤波器的单位冲激响应为 h(n) 且 h(n)=，另输入序列为 x(n) 且，试用重叠相加法计算滤波器的输出。要求每段输入的长度为 5。
解：因为 n=5，故可将 x(n) 分为 3 段：
所以。3.22 已知同（21）题，试用重叠保留法计算滤波器的输出。要求每段输出的长度为 5。
解：因为 n=5，且 m=4，故可将 x(n) 分为 4 段：
最后y4 为什么只去掉 2 个 0）
所以。3.23 已知某信号的最高频率不大于 2khz，现利用dft分析其频谱，要求：1）dft点数为2的整数次幂；2）频率分辨率不大于 8hz。求：
1) 最大的采样间隔；
2) 窗函数的最小长度；
3) dft点数。解：
3.24 若完成一次复乘需100us，完成一次复加需 20us，现直接计算1024点的dft需要多少时间？利用基2 dit-fft需要多少时间？
利用基4 dit-fft需要多少时间？
解：3.25 已知一有限长序列为，直接计算其 8 点 dft。
解：3.26 已知条件（25）题，按 dit-fft 计算序列的 dft。解：令。
采用 dit-fft 算法，有：
3.27 已知条件（25）题，按 dif-fft 计算序列的 dft。
解：采用 dif-fft 算法，有：
其中，e、v2t、v4t、v8t 和 x 同上。
3.28 已知两个实序列 x1(n) 和 x2(x)，长度均为n，其 n 点 dft 分别为 x1(k) 和 x2(k)，问如何通过一次 n 点 fft 同时求出 x1(k) 和 x2(k)。
解：首先将 x1(n) 和 x2(n) 分别当作一复序列的实部和虚部，即令。
通过 fft 运算可获得 x(n) 的 dft 值，即。
所以。3.29 已知一长度为 2n 的实序列 x(n)，其 2n 点 dft为 x(k)，问如何通过一次 n 点 fft 同时求出 x(k)。解：令
其中， 然后按着上题中的算法，即可求出：
又有：3.30 若 x(n) 为一有限长序列，，其 z 变换为 x(z)，现令：
那么：1) 当时，如何利用n 点 fft 求出 x(k)；
2) 当时，如何利用 n 点 fft 求出 x(k)；
解：1) 令。
则。从而只需得出 x1(n) 的 n 点 fft 即可求出 x(k)。
2) 设 m = ln + r (其中 r、l 为正整数，0≤r3.31 已知有限长序列 x(n) 的 z 变换为x(z)，问：
1) 能否利用 czt，其中；
2) 能否利用 czt 求，其中。
解：1）因为。又令。则。
所以可用czt 求。
2） 不可。
第3章习题答案
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