第九章线性系统的状态空间分析与综合。
9-1 设系统的微分方程为。
其中为输入量，为输出量。
设状态变量，，试列写动态方程；
设状态变换，，试确定变换矩阵及变换后的动态方程。
解：⑴，得，；，
9-2 设系统的微分方程为。
其中、分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即为友矩阵)及可观标准型(即为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。
解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，；
可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为、、。试求动态方程，并画出状态变量图。
解：由图中信号关系得，，，动态方程为。
状态变量图为。
9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程，写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。
解：状态方程，；
状态变量图为。
9-5 已知系统传递函数为。
试求出可控标准型(为友矩阵)、可观标准型(为友矩阵转置)、对角型(为对角阵)动态方程。
解：；可控标准型、可观标准型和对角型依次为。
9-6 已知系统传递函数为。
试求约当型(为约当阵)动态方程。
解：；，9-7 已知系统的状态方程为。
初始条件为，。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
解法1：解法2：
9-8 已知系统的状态转移矩阵。
试求该系统的状态阵。
解：。(注：原题给出的不满足及。)
9-9 已知系统动态方程，试求传递函数。
解：，9-10 试求所示系统的传递函数矩阵。
解：；9-11 已知差分方程。
试列写可控标准型(为友矩阵)离散动态方程，并求出时的系统响应。给定，。
解：系统的脉冲传递函数为。
9-12 已知连续系统动态方程为，设采样周期，试求离散化动态方程。解：设，；
9-13 判断下列系统的状态可控性：
解状态不完全可控；
状态不完全可控；
状态完全可控；
状态不完全可控；
状态不完全可控；
状态完全可控；
9-14 已知，试计算？
解：矩阵的特征方程为， 据凯莱哈密尔定理得知：
9-15 设系统状态方程为。
且状态完全可控。试求、。
解：，，只需。
9-16 设系统传递函数为。
且状态完全可控。试求。
解：可控标准型实现的系统，无论取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中。
只需、且。注：由分子和分母的多项式互质条件，同样得到。
9-17 判断下列系统的输出可控性：，。
解：输出可控性判别矩阵。，系统的输出不可控。，系统的输出可控；
9-18 判断下列系统的可观测性：，；
解：应用可观测性判别矩阵。
系统完全可观测；
系统完全可观测；
系统完全可观测；
系统不完全可观测；
9-19 试确定使下列系统可观测的、：
解：，，只需。
9-20 已知系统各矩阵为，试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。
解：，传递函数矩阵为；
该实现是完全可控且完全可观测的。
9-21 将下列状态方程化为可控标准型。
解：；，注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。
9-22 已知系统传递函数为。
试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。
解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式，任何2维动态方程不可能是既完全可控又完全可观测的。
可控不可观测动态方程。
可观测不可控动态方程。
不可控不可观测动态方程。
9-23 设被控系统状态方程为。
可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈矩阵，使闭环极点位于，并画出状态变量图。
解：，，系统完全可控，可用状态反馈任意配置闭环极点。
期望的特征多项式为；
待定参数特征多项式为；
解得，。状态变量图如下：
9-24 设被控系统动态方程为，试设计全维状态观测器，使其闭环极点位于，，并画出状态变量图。
解：期望的观测器特征多项式为；
待定系数的特征多项式为；
状态变量图如右图所示。
9-25 设被控系统动态方程为，试检查被控系统的可控性、可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于，，并画出状态变量图。
解：，，可控性判别矩阵满秩；动态方程是可观测标准型；
被控系统是完全可控且完全可观测的；
期望的特征多项式为
选取状态反馈矩阵；则待定参数特征多项式为。
解得；构造全维状态观测器，其极点选为；则，即；，；
9-26 已知系统动态方程各矩阵为，试检查可观测性，设计维观测器，并使所有极点配置在。
解：，；该系统完全能观；选取变换矩阵。；则；；；
；解得，维观测器方程如下：
9-27 试用李亚普诺夫第二法判断下列系统平衡态的稳定性：
解： 李亚普诺夫方程，其中系统矩阵为；取，，；
解得，系统的平衡态是渐近稳定的；
或采用李亚普诺夫方程，解得。）
9-28 已知系统的状态方程为。
当时，？若选为半正定矩阵，？对应？判断系统稳定性。
解：系统稳定性与所选取的矩阵无关。
当时，由李亚普诺夫方程得到。
解得 ，由，即知矩阵不是正定矩阵，系统不稳定。
可取，（必须），经检验知完全可观测；
解得，非正定，系统不稳定。
9-29 设线性定常离散系统状态方程为，试求使系统稳定的值范围。
解1：离散系统渐近稳定的充要条件是所有特征值均在单位圆内。
由，得。解2：选取；由，计算得，其余，因完全可观测，只需，使为半正定的，即保证系统稳定。
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