固体物理复习

固体物理期末考试参考资料。

一．填空题。

1. 晶格具有周期性和对称性两大特点，其中周期性又称为平移对称性。

2. 费米能：电子占据的最高态能量；能量比费米能低的态所占据费米能的几率为100%

3. 对一个原胞有n个原子，有3n个振动频率，其中能量低的称为声学支，声学支有3支，其余的都是光学支。nacl 2, 金刚石 2，锇 2，（2什么不知道，好像是一个原胞含有的原子数，反正是填空题，如果填数字的话，就填2吧）

4. 热力学第三定律：不可能利用有限的操作使一物体冷却到热力学温度的零度。

也可简称为绝对零度不可能达到原理。电阻与温度在低温下有什么关系？答：

很多（但不是全部）非晶态金属在很宽的温度范围内有负的电阻温度系数。有些非晶态合金负温度系数局限在低温区，因而在电阻率随温度变化曲线中存在有极小值。

5. 价带、导带、禁带、带隙的概念：电子恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的。

最高的满带称为价带，最低的空带称为导带，价带最高能级（价带顶）与导带最低能级（导带底）之间的能量范围称为带隙。除去完全被电子充满的一系列能带外，还有只是部分地被电子填充的能带，后者常被称为导带。在能带结构中能态密度为零的能量区间称为禁带，常用来表示价带和导带之间的能态密度为零的能量区间。

二．判断题。

1. x射线衍射实验有限制的，电子不行，因为能量没到那个级别，必需要x射线，能量至少达到10ev。

2. 金属的电阻产生的根源是晶格的振动，杂质的散射。

3. 声子就是指格波的量子，它的能量等于。一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子；当这种振动模处于本征态时，称为有个声子，为声子数；当电子（或光子）与晶格振动相互作用，交换能量以为单元，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量，称为发射一个声子。

声子不仅有确定的能量，还有确定的准动量。

4. 通常把与q之间的关系称为色散关系。一维双原子链中存在两种不同的格波，两种不同的色散关系，声学波：，光学波：

5. 有效质量是一个张量，，，一般不相等。有效质量与电子质量m之间可以有很大的差别，因为有效质量中实际包含了周期场的作用。

有效质量并不是一个常数，而是k的函数。一般情况是一个张量，特殊情况可能约化为标量。有效质量不仅可以取正值还可以取负值。

很有重要意义的是：在一个能带底附近，有效质量总是正的；而在一个能带顶附近，有效质量总是负的。空穴的概念：

当满带顶附近有空状态k时，整个能带中的电流，以及电流在外电磁场作用下的变化，完全如同存在一个带正电荷q和具有正质量、速度v（k）的粒子的情况一样，这样一个假想的粒子称为空穴。

6. 根据基矢、、定义三个新的矢量。

称为倒格子基矢量。倒格矢g(,,一定垂直于（）吗？答案是是的。

7. 原子能结合为晶体的根本原因，在于原子结合起来后整个系统具有更低的能量。设想把分散的原子（离子或分子）结合称为晶体，在这个过程中，将有一定的能量w释放出来，称为结合能。

8. 三维情况下，能带会发生交叉吗？答案是会发生交叉，一维情况下不会交叉。

9. 爱因斯坦和德拜模型的差别：爱因斯坦模型对晶格振动采用了很简单的假设，假设晶格中各原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有同一频率。

德拜模型与爱因斯坦模型的主要区别就在于德拜模型考虑到了频率分布，德拜是把晶格当做弹性介质来处理的。

三．简答题。

1.什么是布洛赫定理，以及它的边界条件。

布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：，其中k为一矢量，上式就是布洛赫定理。它表明当平移晶格矢量时，波函数只增加了位相因子它的边界条件为周期性边界条件，也称波恩-卡曼边界条件，周期性边界条件为。

、分别为沿、、方向的原胞数，总的原胞数。

2.声子和格波有何异同。

答：相同点：都是晶体的一种表现形式。

不同点：声子是原激发，具有动量，能量。格波的振动体现为波包形式，它的能量决定于振幅，因而对于频率为的波包，它的能量为，所以格波可以认为含有多个声子。

3.能带理论的三个近似：①绝热近似：

假设晶体中的离子实是固定不动的，按一定周期在空间排列，因而将电子运动和晶格振动分开，把多提问题化为多电子问题；②单电子近似：假设电子间的相互作用可用某种平均作用来代替，作用在每个电子上的势场只与该电子的位置有关，而与其他电子的位置和状态无关，从而进一步将多电子问题化简为单电子问题；③周期场近似：假设电子之间以及电子与晶体中所有原子实之间的相互作用势能具有与晶格相同的平移对称性即晶格周期性。

4.固体中原子的结构形式及其物理本质。

答：固体中原子的结合形式有：①离子性结合，它的本质是：

离子晶体一般由负电性相差较大的两种元素的原子结合而成。负电性小的原子将其外层价电子转移给负电性大的原子，形成正负离子，正负离子靠库仑相互作用结合起来。②共价结合，它的本质是：

两个原子各出一个未配对的价电子形成电子偶，归这两个原子所共有，电子云的密度在两原子之间的区域增大，通过静电相互作用将两个带正电的原子核吸引在一起。③金属性结合，它的本质是：由于金属原子的负电性小，容易失去其价电子而变成正离子，而这些价电子则归整块金属所共有，称为共有化电子。

通过共有化电子与带正电离子实之间的库仑相互作用将这些带正电的离子实结合起来。④范德瓦耳斯结合，它的本质是：饱和原子或饱和分子通过瞬时电偶极矩的感应作用而结合起来。

⑤氢键结合，它的本质是：一个氢原子可同时吸引两个负电性较大的原子，而将这两个原子结合起来。

四．计算题。

1.如果，画出它的晶格。

2．给出离子间的相互作用能，求平衡常数及体模量和结合能。

解：（1）若一晶体的相互作用能可以表示为。

晶体内能。平衡条件

所以平衡常数。

2）体弹性模量。

晶体的体积---a为常数，n为原胞数目。

晶体内能。体弹性模量。

由平衡条件。

体弹性模量

3）单个原子的结合能。

（如果是一对原子就不要除以2）

3.给出一个能带表达式，求能带宽度，波矢速度和有效质量。

解：一维晶格中电子的能带可写成，式中a是晶格常数，m是电子的质量，（1）能带宽度为。

由极值条件。

得上式的唯一解是的解，此式在第一布里渊区内的解为。

当k=0时，e（k）取极小值，且有。

当k=时，e（k）取极大值，且有。

由以上可得能带宽度为=

2）电子的平均速度为。

3）带顶和带底电子的有效质量分别为。

4.设原子间常数为a,求原子的振动方程、色散关系并作图。如果m和m各有n个，讨论可能的格波波矢取值，卡曼条件。

5.（1）如果势函数为，画出势能曲线，求平均势能。

解：由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得。

曲线与横轴的交点为-b和b,打不上去）

2）用近自由电子模型求出晶体的第一和第二个禁带宽度。

解：势能在【-2b，2b】区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数。

第一个禁带宽度，以m=1代入上式，

利用积分公式得。

第二个禁带宽度，以m=2代入上式，再次利用积分公式有。

五．证明题。

证明面心立方格子和体心立方格子互为正倒格子。

证：设与晶轴、、平行的单位矢量分别为、、，面心立方正格子的原胞基矢可取为

由倒格矢公式，，

可得其倒格矢为。

体心立方格子的原胞基矢可取为。

以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数因子，这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式。

则得其倒格子基矢为

可见体心立方的倒格子是面心立方。

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