江都中学高三限时练习数学i
答案统一写在答题纸上。
一、填空题：（每小题5分，共70分）
1、复数z=,则|z
2、方程（为常数，）的所有根的和为
3、今年“3·15”，某报社做了一次关于“手机垃圾短信”的调查，在、、、四个单位**的问卷数依次成等差数列，共**1000份，因报道需要，再从**的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在单位抽30份，则在单位抽取的问卷是份．
4、若f(x)是r上的增函数，且f(-1) -4,f(2)=2，设，若的充分不必要条件，则实数的取值范围是。
5、 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）
如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 .
6、若函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 。
7、在△abc中，角a、b、c所对的边分别为、b、c ，若，则 。
8、已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mx－y=0，若m在集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是。
9、设、满足条件，则的最小值 ．
10、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若内不共线的三点到的距离都相等，则；④若，且，，则；⑤若为异面直线， ，则。则其中正确的命题是把你认为正确的命题序号都填上）
11、一只半径为r的球放在桌面上，桌面上一点a的正上方相距（＋1）r处有一点光源o，oa与球相切，则球在桌面上的投影---椭圆的离心率为
12、已知数列满足（为正整数）且，则数列的通项公式为
13、 函数单调递减区间为。
14、已知函数f(x)在定义域（，1]上是减函数，若不等式f(ksinx) f(k2sin2x)对一切实数x恒成立，则k的取值范围是。
二、解答题：
15、（本题14分） 已知向量m=(sina,cosa),n=，m·n＝1，且a为锐角。
ⅰ）求角a的大小；（ⅱ求函数的值域。
16、（本题14分）如图，正三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，（1）求证：∥（2）求证：平面．
17、（本题15分）
某隧道长2150m，通过隧道的车速不能超过m/s。一列有55辆车身长都为10m的同一车型的车队（这种型号的车能行驶的最高速为40m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当时，相邻两车之间保持20m的距离；当时，相邻两车之间保持m的距离。自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为。
1）将表示为的函数。（2）求车队通过隧道时间的最小值及此时车队的速度。
18、（本题15分）
有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②的规则翻动硬币：① 骰子出现1点时，不翻动硬币；② 出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③ 出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上。 按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为。
ⅰ）求证：，点恒在过定点，斜率为的直线上；
ⅱ）求数列的通项公式；
ⅲ）用记号表示数列从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列，，…的前n项和。
19、（本题16分）
平面内与两定点，连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆或双曲线。(ⅰ求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系；
ⅱ)当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在上是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
20、（本题16分）
已知函数定义域为(),设。
ⅰ)试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数；
ⅱ)求证：；
ⅲ)求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数。
江都中学高三限时练习数学附加题。
答案统一写在答题纸上）
每题10分，共40分）
21、b二阶矩阵m对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
1)求矩阵m；
2)设直线l在变换m作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
21、c设点m，n分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsin＝上的动点，求点m，n间的最小距离．
22、如图所示，直三棱柱abc－a1b1c1中，∠acb＝90°，ac＝1，cb＝，侧棱aa1＝1，侧面aa1b1b的两条对角线交点为d，b1c1的中点为m.
1)求证cd⊥平面bdm；
2)求面b1bd与面cbd所成二面角的余弦值．
23、为积极配合2023年春季校田径运动会志愿者招募工作，江都中学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，4名男同学，5名女同学共9名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．
1)记x为男同学当选的人数，写出x的分布列，并求出x的数学期望；
2)设至少有n名女同学当选的概率为pn，求满足pn≥时n的最大值．
江都中学高三限时练习数学答案。
一、填空题：（每小题5分，共70分）
4、（3，＋∞5、甲 7、
二、解答题：
15、 解：（ⅰ由题意得
由a为锐角得7分。
（ⅱ）由（ⅰ）知所以。
因为x∈r，所以，因此，当时，f(x)有最大值。
当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是14分。
16、证明：（1）取的中点，连结，则oe∥ab，又平面abc，ab平面abc,平面abc3分
同理平面abc 又 ∴平面平面abc
而平面，∴平面abc分。
2）连 ∵是正方形分，∴ 又是的中点，∴，12分。
∴平面………14分。
注：其它解法酌情给分。
17、解：（1）当时，
当时， 所以7分。
2）当时，在时，
当时， 当且仅当，即：时取等号。
因为，所以当时，
因为 所以，当车队的速度为时，车队通过隧道时间有最小值15分。
18、解：（ⅰ设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为pn+1，此时有两种情况：
第n次硬币正面朝上，其概率为pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为。 -2分。
第n次硬币反面朝上，其概率为1-pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为； 因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为。--4分，变形得。
点（pn ，pn+1）恒在过定点（，）斜率为的直线上。 -6分。
ⅱ），又由（ⅰ）知：，{是首项为，公比为的等比数列，，故所求通项公式为。 -10分。
ⅲ）解法一：由（ⅱ）知{}是首项为，公比为的等比数列，又。
（）是常数，，…也成等比数列，
且。从而。--15分。
解法二： +
15分。19、解：(i)设动点为m,其坐标为，当时，由条件可得即，
又的坐标满足
故依题意，曲线c的方程为 --4分。
当曲线c的方程为是焦点在y轴上的椭圆；
当时，曲线c的方程为，c是圆心在原点的圆；
当时，曲线c的方程为，c是焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线c的方程为c是焦点在x轴上的双曲线。 -8分。
ii)由(i)知，当m=-1时，c1的方程为9分。
当时， c2的两个焦点分别为
对于给定的， c1上存在点使得的充要条件是
由①得由②得
当或时， 存在点n,使s=|m|a2; -11分。
当或时， 不存在满足条件的点n, -12分。
当时， 由，
可得令， 则由， 从而，
于是由， 可得14分。
综上可得：
当时，在c1上，存在点n,使得
当时，在c1上，存在点n,使得
当时，在c1上，不存在满足条件的点n16分。
20、 (解：因为2分)
由；由，所以在上递增，在上递减4分)
欲在上为单调函数，则5分)
ⅱ)证：因为在上递增，在上递减，所以在处取得极小值(7分)
又，所以在上的最小值为9分)
从而当时， ,即10分)
ⅲ)证：因为，所以即为，令，从而问题转化为证明方程=0
在上有解，并讨论解的个数12分)
因为， ,所以。
①当时， ,所以在上有解，且只有一解 …(13分)
当时， ,但由于，所以在上有解，且有两解14分)
当时， ,所以在上有且只有一解；
当时， ,所以在上也有且只有一解15分)
综上所述， 对于任意的，总存在，满足，且当时，有唯一的适合题意；当时，有两个适合题意……(16分)
说明：第(ⅱ)题也可以令， ,然后分情况证明在其值域内，并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
21、b解：(1)设m＝，则有＝， 所以，且∴m＝.-5分。
2)设(x，y)为l上任一点，在矩阵m下变为点(x′，y′)．
又在m：x－y＝4上，代入有：(x＋2y)－(3x＋4y)＝4.化简得l的方程为x＋y＋2＝0. -10分。
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