4.5 设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为。
求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。
解]（i）设的本征函数为，本征值为。则本征方程为：
即。令 ，则上式成为。
即有 有非零解的条件是上述方程组系数行列式为零，即。
展开得 即有
于是是的本征值。
下面求本征矢：
1）当时，故本征矢为，利用归一化条件有。
因此对应于的归一化本征函数是。
2）当时，，，故本征矢利用归一化条件有。
即有 故对应于的归一化本征波函数是。
3）当时，故本征矢为。
利用归一化条件有，故对应于的归一化本征波函数是。
4）把矩阵对角化。
得出幺正变换矩阵s为。
故 由此可见，在自身表象中，矩阵是一个对角矩阵，对角元素是的本征值。和上述结果一致。
ii）对于，可用同样方法讨论。设的本征矢为，则本征值方程为：
令 ，上式成为。
就有。有非零解的条件为：
即有 故的本征值为 。
求本征矢：（1）当时，。本征矢为，把它归一化，故对应于的归一化本征函数为。
2）当时，，故本征矢为，归一化之，故对应于的归一化本征函数为。
3）当时，，故本征矢为，归一化之，
故对应于的归一化本征函数为。
4）幺正变换矩阵s为：
可见在自身表象中，矩阵是对角矩阵，其对角元素的本征值。
4.6. 求连续性方程的矩阵表示。
解： 连续性方程为。
哈密顿算符。
代入上式得。
以 代入上式，再对变化的整个空间积分可得。
其中 把（*）式写成矩阵形式为。
或简写为。上式就是连续性方程的矩阵表示。
5.2 转动惯量为i、电偶极矩为的空间转子处在均匀电场在中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取的正方向为z轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为。
取，则。由于电场较小，视为微扰，用微扰法求解：
的本征值为。
本征函数为。
先计算的微扰矩阵元：
的基态能量为，为非简并情况。根据定态非简并微扰论可知。
从而基态能量的近似值为：
5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为；都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得。
得 ∴ 能量的二级修正值为。
证明：7.5设氢的状态是
求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值； ②求总磁矩。
解：ψ可改写成。
从ψ的表达式中可看出的可能值为 0
相应的几率为 0.25 0.75
的可能值为
相应的几率为 0.25 0.75
量子力学第3次作业答案
4.5 设已知在的共同表象中，算符的矩阵分别为。求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵对角化。解 的久期方程为。的本征值为。的本征方程。其中设为的本征函数共同表象中的矩阵。当时，有。由归一化条件。取。对应于的本征值0 当时，有。由归一化条件。取。归一化的对应于的本征值。当时，有。由归一化条件。...
量子力学作业答案
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量子力学作业习题汇总
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