第二章波函数和薛定谔方程。
1、求一维线性谐振子处在第一激发态时概率最大的位置。21 2.5
2、质量为的粒子在势场中做一维束缚运动，两能量本征函数分别为：，，试精确确定的取值，并求这两个状态之间的能量差。
3、粒子在如下势场中运动，求其能级。
4、设质量为的粒子处于一维势阱中，式中。若粒子具有一个的本征态，试确定此势阱的宽度。
第三章量子力学中的力学量。
1、 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则必与另一个分量对易。
2、 若算符和是守恒量，证明它们的对易子[，]也是守恒量。
3、二维谐振子的哈密顿量。
1） 求出其能级；2）给出基态波函数；3）如果，试求能级简并度。
4、二维谐振子哈密顿量为。
讨论：1）当时，能量本征值和简并度；2）当时，最低四个能级的本征值和简并度。
5、一维谐振子的哈密顿算符为，引入无量纲算符；；；
1）计算对易关系， ,
2）证明。6、线谐振子在t=0时处于态上，其中为线性谐振子第n个能量本征值en对应的本征函数。求：
(1) 在ψ(x,0)态上能量的可能取值、相应的概率及平均值； (2) 写出t>0时刻的波函数，并求其相应的能量取值几率与平均值。
7、一个质量为的粒子被限制在一维区域运动，时处于基态。今势阱突然向两边对称地扩展一倍，即可以在范围内运动。问：（1）时粒子处于新系统中基态的几率；（2）时粒子能量的平均值。
8、设氢原子处于。
的状态上，求其能量、角动量平方l2及角动量z分量lz的可能取值和相应概率，进而求出它们的平均值。在该状态下，计算能量与角动量平方同时取确定值和的概率。
第四章态和力学量的表象。
1、 在动量表象中，将函数(归一化，并证明坐标表。
象中对应的函数为。
2、 设为厄米算符，证明在能量表象中下式成立。
3、 已知体系的哈密顿算符和力学量算符的矩阵形式分别为。
和，其中和为实常数。
1）和是否是厄米算符？
2）证明和对易，并求出它们的共同本征函数系和相应的本征值；
3）设时体系处于的状态，此时测量和，其相应的可能取值和取值几率是什么？
4）时体系的状态波函数是什么？若此时再测量， 其几率分布会发生变化吗？为什么？
第五章微扰理论。
1、 设粒子在周期场中运动，在动量表象中写出其定态薛定。
谔方程。设哈密顿量的矩阵形式为：，1）设c <<1，应用微扰论求本征值到二级近似；
2） 求的精确本征值；
3）在什么条件下，上面二结果一致。
2、设线谐振子的哈密顿算符用升算符和降算符表示为，此体系受到微扰作用，求体系能量至二级修正。
3、有一粒子，其哈密顿量的矩阵形式为[_+altimg': w': 86', h':
28', omath': h=h0+h\''其中[_=left(2&0&0\\\0&2&0\\\0&0&2\\end}\ight)',altimg': w':
141', h': 152', omath': h0=200020002'}]left(0&0&α\0&0&0\\\0&0\\end}\ight),α1", altimg':
w': 189', h': 152', omath':
h\'=00α000α00,α1'}]求能级的一级近似和波函数的零级近似。
4、两个线性谐振子，它们的质量皆为，角频率皆为，加上微扰项（，分别为两个谐振子的坐标）后，求体系基态能量至二级修正，第二激发态能量至一级修正。（，式中）
第七章自旋与全同粒子。
1、证明，其中是角动量平方算符和分量算符的共同本征函数。
2、 谐振子的哈密顿量可以用无量纲单位写成。
其中。某个未归一化的能量本征函数为，求能量最接近的另外两个非归一化本征函数。
3、自旋为/2，固有磁矩 (γ为实常数)的粒子，处于均匀外磁场中，设t=0时粒子处于sx= /2的状态，求t>0时的波函数。
4、两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系，设两个粒子之间无相互作用。若一个粒子处于的状态，而另一个粒子处于状态，求体系处于单态的概率。
量子力学作业答案
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