第1章量子力学的诞生。
1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：
l ）长l=lm ，质量m=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；
2 ）质量m=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；
3 ）质量m= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．
2] 用h,e,c,m（电子质量）, m （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：
1 ）玻尔半径（cm ) 2 ）氢原子结合能（ev ) 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) 5 ）经典电子半径（cm ) 6 ）电子静止能量（mev ) 7 ）质子静止能量( mev ) 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构**。
3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内， 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细**能量；( 4 ）37li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4he 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）π0介子的寿命；( 9 ）π介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．
4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．
1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) franck – hertz实验；( 4 ) d**isson -ger - mer 实验；( 5 ) compton 散射．
5]考虑如下实验：一束电子射向刻有a 、b 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．
1 ) a 缝开启，b缝关闭；
2 ) b 缝开启，a 缝关闭；
3 ）两缝均开启．
6]验算三个系数数值：（1）；（2）；（3）hc
第二章波函数与schrdinger方程。
1] 试用量子化条件，求谐振子的能量[谐振子势能]
2] 一维运动的粒子处在。
的状态，其中，求：
1）粒子动量的几率分布函数；
2）粒子动量的平均值。
3] 平面转子的转动惯量为，求能量允许值。
4]. 有一带电荷质量的粒子在平面内运动，垂直于平面方向磁场是b,求粒子能量允许值。
5] 对高速运动的粒子(静质量)的能量和动量由下式给出。
试根据哈密顿量3)
及正则方程式来检验以上二式。由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系。计算速度并证明它大于光速。
6]. 1）试用fermat最小光程原理导出光的折射定律。
2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：
如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理认为则这将导得下述折射定律。
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：仍就成立，e是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质e仍不变，仍有，你怎样解决矛盾？
7]. 当势能改变一常量c时，即，粒子的波函数与时间无关部分变否？能量本征值变否？
8]. 试证粒子势能的极小值是。
9]. 设与是薛定谔方程式两个解，证明与时间无关。
10]. 考虑单粒子的薛定谔方程式：
v1，v2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积ω内，粒子几率“丧失”或“增加”的速率。
11]. 对于一维自由运动粒子，设求。
12]. 证明从单粒子的薛定谔方程式得出的速度场是非旋的，即。
第三章一维定态问题。
1]. 对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明。
并证明当时上述结果与经典结论一致。
2]. 试求在不对称势力阱中粒子的能级。
3]. 设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：
求粒子的能级。
4]. 考虑粒子在下列势阱壁（ｘ＝处的反射系数。
5]. 试证明对于任意势垒，粒子的反射系数ｔ满足ｒ＋ｔ
6]. 设在一维无限深势阱中运动的粒子的状态用：
描述，求粒子能量的可能植及相应的几率。
7]. 设一谐振子处于基态，求它的并验证测不准关系：
8]. 设粒子处于无限深势阱中，状态用波函数描述，是归一化常数，求（1）粒子取不同能量几率分布。（2）能量平均值及涨落。
9]. 一维无限深势阱中求处于态的粒子的动量分布几率密度。
10]. 写出动量表象中谐振子的薛定谔方程式，并求出动量几率分布。
11]. 一维谐振子处在基态，求：
(1)势能的平均值；
(2)动能的平均值；
(3)动量的几率分布函数。
12]. 氢原子处在基态，求：
(1)r的平均值；
(2)势能的平均值；
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。
13]. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是。
14]. 一刚性转子转动惯量为i，它的能量的经典表示式是，l为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
1) 转子绕一固定轴转动：
2) 转子绕一固定点转动：
15]. 设t=0时，粒子的状态为。
求此时粒子的平均动量和平均动能。
16]. 一维运动粒子的状态是。
其中，求：(1)粒子动量的几率分布函数；
(2)粒子的平均动量。
第四章力学量和表象变化。
1]指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。
2] 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
3] 下列函数哪些是算符的本征函数，其本征值是什么？
4] 试求算符的本征函数。
5] 设波函数，求。
6] 证明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的。
7] 问下列算符是否是厄米算符：①；
8] 如果算符满足关系式，求证①②
9] 求 ；；
10] 设是的可微函数，证明下述各式：
11] 证明以下诸式成立：
12]为粒子角动量。f为另一力学量，证明：
其中表示空间坐标的梯度，表示动量空间的梯度。
13] 设算符a，b与它们的对易式[a，b]都对易。证明。
14] 证明。
15] 证明是厄密算符。
16] 证a 等是实数)是厄密算符。
17] 证明（实数）是厄密算符。
18]证明，若当大时并不趋于0，则不一定是厄密算符。
19] 证明其中a(p,q),b(p,q)是正则动量和坐标的函数，上式左方是相应的算符。是经典力学中的poisson括弧在多变量情形。
i=1,2,3...i自由度。
20] 设f(x，p)是xk，pk的整函数，证明。
整函数是指，是数值系数。
第五章力学量随时间的演化与对称性。
1]. 证明力学量（不显含）的平均值对时间的二次微商为：
是哈密顿量）
2]. 证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含的物理量对时间的导数的平均值等于零。
3]. 设粒子的哈密顿量为 。
1） 证明。
2） 证明：对于定态
4]. 证明，对于一维波包：
5]. 求海森伯表象中自由粒子的座标的算符。
6]. 求海森伯表象中中谐振子的坐标与动量算符。
7]. 多粒子系若不受外力，则其哈密顿算符可表成：
证明：总动量为守恒。 ⑵
8]. 多粒子系如所受外力矩为0，则总动量为守恒。
9]. 证明：对经典力学体系，若a，b为守恒量，则即泊松括号也为守恒量，但不一定是新的守恒量，对于量子体系若，是守恒量，则也是守恒量，但不一定是新的守恒量。
10]. 对于平面转子**动惯量i），设：
1） 试求。
11]. 证明周期场中的bloch波函数。
是的本征函数，相应的本征值是。
第六章中心立场。
1] 质量分别为 m,m的两个粒子组成的体系，质心座标及相对坐标为：
1) ；r2)
试求总动量及总角动量在，表象中的算符表示。
2] 证明，
3] 中心力场中的经典粒子的哈密顿量是。
其中。当过渡到量子力学时，要换为。
问是否厄米算符？是否厄米算符。
4] 经典力学中。
在量子力学中此式是否成立？在什么条件下此式成立？
5] 求出氢原子基态波函数在动量表象中的表示式。利用所得结果，计算。用x表象中的氢原子波函数计算，并验证测不准关系式。
6] 在动量表象中写出氢原子的能量本征方程式，并证明角动量的各个分量均为守恒量。
7] 设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区（e—v）=t〈0 〉的几率。
8] 证明，对于库仑场，（是总能量）
9] 对于氢原子的，计算
10] 根据氢原子光谱理论，讨论（1）“电子偶素”（指e+—e-的束缚态）的能级。（2）μ介原子的能谱。（3）μ介子素（指μ+-e-束缚态）的能谱。
11] 在（）表象中，的子空间是几维？求在此子空间的矩阵表示式，再利用矩阵形式求出本征值及征矢。
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