该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡。
q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,r= -1380,r= -630，可得
因此该问题的混合纳什均衡为。
2) 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何？
(高质量， 高质量),(低质量，低质量)。
7. 甲、乙两人就如何分100元钱进行讨价还价。假设确定了以下规则：
双方同时提出自己要求的数额s1和s2，0≤s1，s2≤100。如果s1+s2≤100，则两人各自得到自己所提出的数额；如果s1+s2>100，双方均获得0元。试求出该博弈的纳什均衡。
该博弈的纳什均衡为下图的线段ab：即：s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。
8. 假设古诺寡头垄断模型中有n个企业，令qi表示企业i的产量，且 q=q1+…+qn表示市场总产量，p表示市场出清**，并假设逆需求函数由p(q)=a-q给出（设q解：厂商i的利润为：
πi=p(q)-cqi=(a-q-c)qi
令，则有：q=a-c-q1）
)组成该博弈的纯策略纳什均衡点。
式（1）两边同时求和，可得：，于是，此时p*=a-q*=，当n趋于无群大时，有q*=a-c, q=0，p*=c，说明此时各厂商的产品**等于边际成本，这时的市场已是完全竞争市场。
9. 对于下列的威慑进入博弈，首先计算垄断情况下的产量与**组合，再计算存在竞争的情况下两企业的产量与**组合，并对这两种情况下的结果作比较分析。假定进入者相信垄断在位者在随后的阶段将会维持它的产量水平。
市场需求曲线由方程p=10-2q给出，其中p是市场**，q是总的市场产量。假定在位者和进入者有相同的总成本函数tci=+4qi，其中i=1,2分别表示在位者和进入者。
解：设垄断在位者的产量策略为q1，**为p1；进入者的产量为q2，**为p2。其利润分别为：π1,π2。
先讨论垄断在位者不威慑的情形。
若进入者进入，各自利润为。
求导得： 解得均衡时q1=q2=1，则p=8，利润为：π1=π2=。
若进入者不进入，则q2=0。
由得q1=，则相应地有p=7, π1=4。
如果垄断在位者进行威慑，由以上分析可知，如果两者都生产，则最大产量为2。所以垄断在位者采取威慑为永远取产量为2，此时，若进入者进入，均衡分析如下：
,则有q2=，p=5, π1=,π2=0.
若进入者选择不进入：q2=0，p=6, π1=。
由以上计算分析可以看出，垄断在位者的威慑是可信的。垄断在位者的产量为2，进入者进入后无利可图，所以选择不进入。市场**为6。
10. 甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。试求出该博弈的纳什均衡。如果乙企业所在国**想保护本国企业利益，可以采取什么措施？
解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。
所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发，不开发)和(不开发，开发)。
该博弈还有一个混合的纳什均衡(()
如果乙企业所在国**对企业开发新产品补贴a个单位，则收益矩阵变为：,要使(不开发，开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点，只需a>10。此时乙企业的收益为100+a。
11. 假设有一博弈g=[n,s,p]，其中n=,s1=[10,20],s2=[0,15],，试求出最优反应函数，并求出均衡点。
解：令，，得最优反应函数：
由此进一步可求得，它们在题设要求的可行域内，所以均衡点为（330/23,80/23）。
12. 证明教材中定理2.4.6。
证明：设矩阵博弈g1的纳什均衡为(x*,y*),其中x*=(x1,x2,…,xm),y*=(y1,y2,…,yn),由纳什均衡的定义，有，即。由于d是常数，因此有。显然不等式。
是成立的，此即为。所以(x*,y*)是矩阵博弈g2的纳什均衡点，并且。
博弈论作业
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