1．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于a（1，0）、
b（5，0）两点．
1）求抛物线的解析式和顶点c的坐标；（4分）
2）设抛物线的对称轴与x轴交于点d，将∠dcb绕点c按顺时针方向旋转，角的两边cd和cb与x轴分别交于点p、q，设旋转角为（）．
当等于多少度时，△cpq是等腰三角形？（5分）
设bp=t ,aq=s，求s与t之间的函数关系式．（5分）
28．［12分］如图14（1），抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c（0，）．图14（2）、图14（3）为解答备用图］
1） ，点a的坐标为 ，点b的坐标为 ；
2）设抛物线的顶点为m，求四边形abmc的面积；
3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点d，使四边形abdc的面积最大？若存在，请求出点d的坐标；若不存在，请说明理由；
4）在抛物线上求点q，使△bcq是以bc为直角边的直角三角形．
1．解：（1）根据题意，得 1分。
解得2分。3分。
顶点c的坐标为（3，2）． 4分。
2）①∵cd=db=ad=2，cd⊥ab，∴∠dcb=∠cbd=45°． 5分。
）若cq=cp，则∠pcd=∠pcq=22.5°．
当=22.5°时，△cpq是等腰三角形． 6分。
）若cq=pq，则∠cpq=∠pcq=45°，此时点q与d重合，点p与a重合．
当=45°时，cpq是等腰三角形． 7分。
ⅲ）若pc=pq， ∠pcq=∠pqc=45°，此时点q与b重合，点p与d重合．
=0°，不合题意8分。
当=22.5°或45°时，△cpq是等腰三角形． 9分。
连接ac，∵ad=cd=2，cd⊥ab，∠acd=∠cad=， ac= bc= 10分。
）当时，∠acq=∠acp+∠pcq=∠acp+45°．
bpc=∠acp+∠cad=∠acp+45°．
∠acq=∠bpc11分。
又∵∠caq=∠pbc=45°，△acq∽△bpc
aq·bp=ac·bc=×=8 12分。
）当时，同理可得aq·bp=ac·bc=8 13分。
． 14分。
2．本小题满分16分。
解：（1）， 1分。
a（-1，0）， 2分。
b（3，0）． 3分。
2）如图14（1），抛物线的顶点为m（1，-4），连结om．
4分。则 △aoc的面积=，△moc的面积=，mob的面积=6， 5分。
四边形 abmc的面积。
△aoc的面积+△moc的面积+△mob的面积=9． 6分。
说明：也可过点m作抛物线的对称轴，将四边形abmc的面。
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．
3）如图14（2），设d（m，），连结od．
则 0＜m＜3， ＜0．
且 △aoc的面积=，△doc的面积。
dob的面积=-（8分。
四边形 abdc的面积=△aoc的面积+△doc的面积+△dob的面积。
． 9分。 存在点d，使四边形abdc的面积最大为． 10分。
4）有两种情况：
如图14（3），过点b作bq1⊥bc，交抛物线于点q1、交y轴于点e，连接q1c．
∠cbo=45°，∴ebo=45°，bo=oe=3．
点e的坐标为（0，3）．
直线be的解析式为． 12分。
由解得 点q1的坐标为（-2，5）． 13分。
如图14（4），过点c作cf⊥cb，交抛物线于点q2、交x轴于点f，连接bq2．
∠cbo=45°，∴cfb=45°，of=oc=3．
点f的坐标为（-3，0）．
直线cf的解析式为． 14分。
由解得 点q2的坐标为（1，-4）． 15分。
综上，在抛物线上存在点q1（-2，5）、q2（1，-4），使△bcq1、△bcq2是以bc为直角边的直角三角形． 16分。
说明：如图14（4），点q2即抛物线顶点m，直接证明△bcm为直角三角形同样得2分．
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