数学建模期末实验作业》
院系：数学学院。
专业：信息与计算科学。
年级：2014级。
试题编号：37
胡克定律的综合评价分析。
背景摘要：利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！
越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。在《越狱》第一季第六集中，michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。
相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。
胡克定律的表达式为f=k·x或△f=k·δx，其中k是常数，是物体的劲度（倔强）系数。在国际单位制中，f的单位是牛，x的单位是米，它是形变量（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。
弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：
弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即f= -k·x。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。
但当我们进行多次实验，便会发现随着f的逐步增大，便不再服从胡克定律。为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。
一、建模问题。
1.问题提出。
1.1 问题背景。
弹簧在压力f 的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定理：f与x成正比，即f=kx。现在得到下面一组f，x数据，并在（x，f）坐标下作图，可以看到当f大到一定数据值后，就不服从这个定律了。
表1-11.2 问题提出。
试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：
1）试由数据确定k
2）给出不服从胡克定理时的近似公式。
1.3 问题分析。
这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。
二、模型假设。
通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，f的值是随着x的改变而改变的，当x小于某一值时，f遵循胡克定律，而当x大于某一值时，f便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。
假设1：当x<9时，f遵循胡克定律。
假设2：当x>9时，f不遵循胡克定律。
三、模型建立。
已知胡克定律为：f=kx，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现k的值并非固定值，我们可假设f=kx中还有第三个未知量s。
故建立模型公式：f=kx+s
运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合内容，在matlab程序上可进行求解。
四、符号说明。
表4-1 五、模型求解。
解：1）试由数据确定k
输入以下程序：
x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];
k=f/x可得结果：k =
2）给出不服从胡克定理时的近似公式：
输入以下程序：
x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];
a=polyfit(x,f,1)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
运行结果：a =
可得图5-2-1：
图5-2-1
通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式f=1.3340x+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。
先取前六个数据的值进行线性拟合：
输入程序：x=[0 1 2 4 7 9];
f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6];
a=polyfit(x,f,1)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
可得结果：a =
可得图5-2-2：
图5-2-2
通过图5-2-2，可以看到拟合良好，且0.008可以忽略不计，故可以用f=1.7085x来表示力和弹簧伸长的关系，该公式较符合胡克定律。
接下来对后面的四个数据进行二次拟合来观察效果：
输入程序：x=[12 13 15 17];
f=[18.8 19.6 20.6 21.1];
a=polyfit(x,f,2)
z=polyval(a,x);
plot(x,f,'k+',x,z,'r')
可得结果：a =
可得图5-2-3：
图5-2-3
通过图5-2-3可以看出，当才用后四个数据来进行拟合时，拟合情况较为准确，可以接受，近似公式为f=-0.0732+2.5790x-1.5834
六、结果分析。
通过运用matlab分别进行三次拟合，可以发现三次拟合的结果大不相同。第一次将所有数据进行拟合，拟合的情况并不好，偏差较多，得出的公式与胡克定律也相差甚远；第二次按照模型假设，只采用[0 1 2 4 7 9]这六个数据进行拟合，拟合情况较为良好，所得到的公式也极为接近胡克定律；第三次同样按照模型假设，采用[12 13 15 17]这四个数据进行拟合，拟合情况同样良好，且所得公式也符合我们的模型假设。综合三次拟合，现在可以解答第二步所建立的模型假设。
假设1：当x<9时，f遵循胡克定律。
假设1结果：当x<9时，f遵循胡克定律，其公式为f=1.7085x
假设2：当x>9时，f不遵循胡克定律。
假设2结果：当x>9时，f不遵循胡克定律，其近似公式为近似公式为f=-0.0732+2.5790x-1.5834
七、实验心得。
在进行建模和**分析时，人们经常面临用已知系统实测数据应用数学模型描述对应系统，即对数据进行拟合。拟合的目的是寻找给定的曲线（直线），它在某种准则下最佳的拟合数据。常用的拟合方法之一是多项式的最小二乘拟合，其准则是最小误差平方和准则，所用的拟合曲线为多项式。
在本次建模实验中，我们所用到的方法就是是线性最小二乘拟合，通过这次实验，使得我掌握了用线性最小二乘拟合建立回归数学模型（包括参数估计和模型建立），并通过几个数据拟合的回归分析来判断曲线（直线）拟合的精度，判断模型建立是否正确。
八、参考文献。
九、附录。附录a：其实除我们所熟知的f=kx这一简单的胡克定律，还有一个广义的胡克定律，其内容为：
在材料的线弹性范围内（见下图的材料应力应变曲线的比例极限范围内），固体的单向拉伸变形与所受的外力成正比；也可表述为：在应力低于比例极限的情况下，固体中的应力σ与应变ε成正比，即σ=ε式中e为常数，称为弹性模量或杨氏模量。把胡克定律推广应用于三向应力和应变状态，则可得到广义胡克定律。
图a1附录b：各向同性材料的广义胡克定律有两种常用的数学形式：
图b1式中σij为应力分量；εij为应变分量（i，j=1，2，3）；λ和g为拉梅常量，g又称剪切模量。这些关系也可写为：
图b2e为弹性模量（或杨氏模量）；v为泊松比。λ、g、e和v之间存在下列联系：
图b3式（1）适用于已知应变求应力的问题，式（2）适用于已知应力求应变的问题。
数学建模插值与拟合实验题
1.处理2021年大学生数学建模竞赛a题 中国人口增长 附件中的数据，得到以下几个问题的拟合结果，并绘制图形。1 对1994 2021年出生婴儿的性别比进行拟合，并以此 2021 2021年间的性别比。2 生育率随年龄的变化而变化，试以生育年龄为自变量，生育率为因变量，对各年的育龄妇女生育率进行拟合...
数学建模实验二
plot x 2,plotlabel x 2 plot x 4,plotlabel x 4 plot x 3,plotlabel x 3 plot x 5,plotlabel x 5 plot plot nullgraphics graphics graphics graphics graphics...
数学实验与数学建模实验二
2.圆钢原材料每根长5.5米，现需要a,b,c三种圆钢材料，长度分别为3.1m,2.1m,1.2m,数量分别为100根，200根，400根，试安排下料方式，使所需圆钢原材料的总数最少。解 可行的方案如下表所示 约束条件为 目标函数 则列lingo程序如下 min x1 x2 x3 x4 x5 x1 ...