太阳影子定位。
作者： 慕锋_徐有杰 _刘步强。
摘要：本文以立杆影子数据为例，分析立杆影子的移动规律并解决了与其时空关系。
对于问题1：首先以地球坐标系为基本参考系，建立了天球坐标系，以观测者所在地地平面为基础，建立了地平坐标系，采用太阳方位角和太阳高度角来描述太阳相对于观测者的位置；其次通过天球坐标系和地平坐标系的几何关系，建立杆影顶点的位置与杆高、太阳方位角和高度角的数学模型；然后由立杆在地平坐标系中的位置建立杆影长度随时间的变化的模型；最后得出杆影长度随太阳高度角增加而减小，早晨影长随时间推移而变短，中午影长最短，下午影长随时间推移而变长，影长与太阳方位角和时角的变化关系与前者相似。
对于问题二：根据问题一建立的模型，首先反解出太阳方位角和高度角，根据纬度与太阳方位角、高度角和赤纬角的关系，通过求解非线性方程的根来计算立杆的纬度；然后根据上述计算结果，结合经度与太阳高度角和赤纬角关系，计算出立杆的经度，从而建立了立杆位置的求解模型；最后根据上述模型，结合附件1数据，计算出不同杆高时立杆的位置，大约位于东经109度到115度之间，而杆高随纬度变化较大。
对于问题三：在问题二的基础上，太阳赤纬角为未知参数，通过给定未知参数的范围，由太阳方位角和高度角的计算公式得出计算值，然后根据已知的杆影顶点坐标，结合太阳方位角和高度角计算方法，得出立杆点太阳赤纬角的真实值。考虑计算值和真实值之差的平方和最小为目标，建立带有约束条件的多目标最优化模型，最后通过matlab编写程序求得附件2的最优位置为北纬30.
01529度，东经157.0815度。附件3的最优位置为南纬27.
0115度，东经98.04841度。
对于问题四：建立以立杆与地平面交点为原点的平面直角坐标系，通过数字化的方法提取附件4中**杆影顶点的坐标数据和观测时间。然后根据已知的日期将提取的数据代入问题3的模型中求得立杆点的位置为南纬22.
0127度，东经115.0567度。
关键字：天球坐标系；地平坐标系；太阳高度角；太阳方位角；赤纬角；时角。
1、问题的提出。
1.1问题背景。
太阳影子定位技术就是通过分析**中物体的太阳影子变化，确定**拍摄的地点和日期的一种方法，如何确定**的拍摄地点和拍摄日期是**数据分析的重要方面。
1.2问题内容。
1）建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2023年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3）根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4）附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的**，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定**拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据**确定出拍摄地点与日期？
2、假设和符号说明。
2.1模型假设。
1）忽略大气对太阳光的折射影响；
2）太阳光线射入地球为平行光；
3）在确定某一天，太阳的赤纬角不随时间（一天24小时之内）而变化；
4）假设地球为圆球体；
2.2符号说明。
3、问题分析。
通过问题分析和实际的观察可知，影子长度与太阳高度角，方位角，赤纬角，时角和杆长有关。地球自转并绕太阳公转，这个轨道线是固定的，日升日落。同一地点在一天内太阳高度角不断变化，而且一年四季每天的太阳高度角也是变化的，但这个变化是固定的。
若以地球作为参照物，地球是相对静止，那么在地球上观察到的是太阳在天空中移动。所以在一个规定的地方，每年同一天，太阳在此地上空运动轨迹我们认为是是固定的，任何时刻的具体值都可求出。所以为了确切地描述太阳在天空中的移动轨迹与位置关系建立数学模型[1]。
以地球球心o为中心，以任意长为半径作一假想球面，太阳这个球面上绕地轴转动，这个假想的球体称为天球[1]。延长地轴线与天球相交的两点称为天极，为北天极，为南天极，即为天轴。将地球赤道面无限放大与天球相交所成的圆称为天球赤道。
在无限放大的黄道平面上可以认为太阳沿着天球黄道绕地球周而复始地运动（如图1所示）。
图1 天球坐标系。
太阳在天球上的位置每日、每时都有变化。为了确定其位置，常用赤道坐标系和地平坐标系从不同角度来表示。
赤道坐标系[2]：是把地球上的经、纬度坐标系扩展至天球，在地球上与赤道面平行的纬度圈，在天球上则叫赤纬圈：在地球上通过南北极的经度圈，在天球上叫做时圈。
以赤纬度（在南北回线之间变化）和时角表示太阳的位置(如图2所示)。
时角：是指太阳所在的时圈与通过北点的时圈构成的夹角，单位为度（见图2）。
通过查阅文献[1]可得，时角的计算方法为：
赤纬角：又称太阳赤纬，是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角（见图2）。
通过查阅文献[4]可得，赤纬角的计算方法为：
图2 赤道坐标系。
地平坐标系[2]：以地球表面上某一点的切面为基面建立空间直角坐标系，用太阳高度角和方位角来确定太阳在天球中的位置(如图3所示)，从天球北极看，顺时针方向为正，逆时针方向为负。时角表示太阳在一天内的方位，因为天球在一天24ｈ内旋转360°，所以每小时旋转15°。
图3 天球坐标系与地平坐标系的关系。
太阳高度角：是指太阳直射光线与地平面间的夹角（见图3），当太阳高度角为90°时，此时太阳辐射强度最大；当太阳斜射地面时，太阳辐射强度就小。
通过查阅文献[3]可得，太阳高度角的计算方法为：
太阳方位角：是指太阳直射光线在地平面上的投影线与地平面正北向所夹的角（见图3），通常以北点ｓ为（顺时针方方向旋转，从到之间变化）。
通过查阅文献[3]可得，太阳方位角的计算方法为：
问题一：为了建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。观测者是在地球地平面上对太阳的运动轨迹和影长进行观测，相对于观测者而言，地球是固定不动的，太阳围绕地球旋转。
通过前面建立的天球坐标系和地平的坐标系关系，首先考虑太阳高度角与观测者所在地纬度、观测者观测日期的赤纬角和观测时间的时角的关系。太阳方位角观测者所在地纬度、观测者观测日期的赤纬角和观测时间的太阳高度角的关系；其次以观测者所在地的地平坐标系为参考系来描述太阳相对于该坐标系的运动规律，通过太阳高度角和太阳方位角来描述太阳相对于观测者的位置；然后以立杆与地平面的交点为坐标原点，地球经线在地平面的投影线为南北方向，北方向指向地球北极，地球纬线在地平面的投影线为东西方向。确定地平坐标系中立杆高度与太阳方位角和太阳高度角的几何投影关系，进而计算立杆顶点在地平坐标系中投影点随时间的变化关系；最后通过计算投影点的长度来描述影长与时间的变化关系。
通过上述建立的数学模型画出2023年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒，东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
问题二：结合问题一建立的数学模型，根据杆影顶点坐标数据反解出立杆所在地的经纬度。首先根据附件一已知的观测日期可以确定赤纬角，根据观测时间可以建立时角与经度的函数关系；然后由附件一观测的影子顶点坐标，结合问题一建立的模型，可以求出太阳方位角，再结合设定立杆的高度，可以求出太阳高度角；最后将上述结果代入问题一的模型求出可能的立杆所在地的经纬度。
问题三：结合问题二，设定立杆所在地的经度、纬度和赤纬角的变化范围，将上述数据代入问题一模型，可以计算出理论的影子顶点的位置数据，然后将计算出的结果与附件2和3的结果进行对比，求出两者之差的平方和最小为最优目标，当给定的纬度、经度和赤纬角满足上述条件时，即为立杆所在地的位置；最后根据赤纬角确定观测日期。
问题四：附件4中，由于在视屏中是2023年7月13日早晨九点左右拍摄的，由此可判断影子指向西方，根据影子移动变化方向，假设拍摄地在北半球，则影子在南北方向是向北移动的；假设拍摄地点在南半球，同样影子的方向为向西，理论上影子应该偏南。对视屏中的杆影长度进行数据资料提取，得到杆影顶点坐标。
然后代入问题二中的模型求解出位置。
4、模型的建立与求解。
4.1问题1模型建立及求解过程。
以地平坐标系为基础，建立以立杆与地平面交点为坐标原点的杆影空间坐标系，y轴与地平坐标系的轴（北极）平行，x轴与地平坐标系的轴（东方向）平行，轴为与立杆重合，如图4所示。
图4 太阳、杆影的位置关系图。
根据上图的几何关系可得杆影顶点在xoy平面中的坐标：
将（1）~（4）代入（5）式可得杆影顶点的坐标，然后根据坐标计算出杆影的长度l。
表1 2023年各月份所对应的天数。
将表1中的数据代入（6）式可得2023年10月22日的赤纬角为：
纬度： 将上述已知数据代入（6）式可得杆影长度与时间的关系曲线图，如图5所示：
图5 杆影长度与时间的关系曲线。
由图5可得，从早晨9点到12点，杆影长度逐渐缩短，12点时杆影长度达到最小3.8411米，12点以后杆影长度逐渐变长。
图6 太阳高度角与影长的变化关系曲线。
图7 太阳时角与影长的变化关系曲线。
图8 太阳方位角与影长的变化关系曲线。
4.2问题2模型建立及求解过程。
根据（5）式可得太阳方位角的表达式为：
由（7）式可知，只要已知杆影顶点坐标，就可求出太阳的方位角。注意：根据x和y值的正负关系判断方位角的大小。
具体确定方法如下：
根据（5）式可得太阳高度角的表达式为：
根据太阳方位角计算方法（4）式可得纬度计算公式：
当杆影位置和观测日期和时间已知时，通过求解（10）的非线性方程可得立杆所在地的纬度。具体求解方法如下：令：
只要求解出（11）式的零点，即可求得纬度。
根据太阳高度角（3）式，将上述求解到的纬度、赤纬角和时角代入可得经度计算公式：
附件一的观测日期为2023年4月18日，根据表1中的数据代入（6）式可得2023年4月18日的赤纬角为：
将附件一数据代入（11）式求解可得可能的纬度为，结合（11）式求解的结果，根据（12）式计算可得可能的经度，具体计算的结果如下：
表2 附表1中杆影的位置。
4.3问题3模型建立及求解过程。
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