规则是人们在认知世界中，对各种事物间内在联系的言语描述或说明，它包括了抽象的计算公式、处理事物的法则或科学原理和定律等。规则反映的是概念之间的联系，其学习的实质就是使人能在体现规则变化的情境中适当应用规则。数学规则是数学定义、公式、原理、定律和法则的总称，它们构成了学校数学学习的大部分内容。
学生掌握了某条规则后，就会始终在任何情况下对某一类刺激做出正确的反应。比如平方差分解因式公式a2－b2=（a＋b）·（a－b）的学习，就是一种规则学习，学生掌握这一规则后，不论用任何数或任何代数式来替代a和b，他们都能把那些数和式转换成这一公式。作为一种智慧技能，数学规则学习的本质就是提高学生运用若干概念之间的关系或某个特定程序性知识来解决问题的能力。
由于数学规则学习涉及诸多能力的培养和形成，因此是学校教育内容中最普遍，最重要的部分。
、例证——规则法。
例证——规则教学模式是先呈现与数学规则有关的若干例证，再引导学生观察、分析，逐步概括出一般结论，从而获得数学规则。例证——规则的学习模式与概念形成的学习类似，是数学规则的发现学习。
在学习平方差分解因式公式中，教师提供平方差分解因式公式的几何**和数学模型两实例，让学生通过观察、抽象归纳出结论。
2、规则——例证法。
规则——例证教学模式，是教师先向学生呈现某个规则，然后通过若干的实例来说明规则的一种教学模式。这种教学模式往往比较适用于规则的下位学习。其条件就是学生必须掌握构建规则的前提概念。
学习平方差分解因式公式，是在学习了平方差乘法公式之后的内容，因此学生完全可以利用已构建的数学概念（平方差乘法公式），直接获得分解因式平方差公式，然后再通过多个例证来进行验证和学习。
规则属于程序性知识。心理学研究表明，程序性知识是由陈述性知识经过变式练习转化而来的。因此，数学规则的学习首先就是陈述性知识的学习，即概念、定义、公式、定理的学习。
第二是程序性知识的学习，即通过变化性练习，逐渐形成知识产生式，最终获得程序性知识。在数学规则学习中，程序性知识既包括了基本技能知识，还包括认知策略知识。为此，我们将数学规则的学习活动辨别为三大内容：
概念间关系的学习；基本技能的掌握和认知策略的强化。
、数学规则学习活动之一：认知结构的组织与精深。
规则反映的是概念之间的关系，因此陈述性知识间的结构学习成为了压倒一切的因素。德国心理学家格拉泽指出：知识结构绝非仅是信息的堆积或简单的联结，而是一些能互相影响从而使人的认知过程更具整体性的信息组织。
认知结构的建立，一方面提高了人在解决问题时对信息的检索和提取的效率，另一方面则为新认知提供了联结网络和拓展槽。
一、良好的认知结构分析。
认知结构是学习者在某一特殊知识领域内观念的内容和组织。良好的认知结构应该是结构完整、范围明确、清晰高效的，具体分析如下： 二、最近发展区分析。
根据最近发展区的理论，数学规则学习必须始终保持在学生能够认知的领域内进行。根据初中《平方差分解因式公式》中的三大活动，确定如下起点和终点：
三、认知转化途径分析。
在初中《平方差公式分解因式》规则学习中，突出了“数”、“形”两方面的认知构建，以下从“形”的角度，即几何**来描述认知的过程和途径。
表一：认知转化分析。
四、促进认知结构获得的策略。
一）、精深。
精深加工是指对要记忆的材料进行补充细节、举出例子、作出推论等行为，使之与其他概念形成联想，以达到长期保持的目的。以下是一些主要策略：
、表象化。表象可以连续的和模拟的去表征知识。规则表象化一方面降低了人脑在工作时的记忆负担，提高了记忆量和工作量，另一方面很有助于抽象的推理活动。
比如平方差分解因式公式的表象 “ a2－b2=（a＋b）·（a－b）”，极有利于学习和掌握。
表二：正反例表象化
、数学模型化。
数学模型化就是用字母、数及其它数学符号对建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构的表达。在《平方差分解因式公式》规则学习中，设计如下数学模型化过程：
活动】计算并观察下列算式。
请填空：a2－b2
请说出你认为的规律：
、言语指导。
对于平方差分解因式公式，有如下语言说明：“平方差公式是‘两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积’”。是‘先平方，后做差’，左边是‘二项式，每一项都能写成平方的形式，两项的符号相反，一正一负’，右边是‘两数的和乘以两数的差’”。
、正反例举。
具体概念的学习依赖于对无关特征多变的正反例证的辨别，依赖于对精心挑选的正反事例的鉴别。具体例举见表二。
二）、组织。
精深的另一种重要的作用是根据学习材料本身的内在逻辑关系，将其建构成一个有序的、条理化的系统结构，即对记忆赋予有层次的组织。这种有层次的组织将能够使人对记忆的搜寻表现出结构化，并使人能够更有效地提取到信息。
整式乘法。平方差公式。
规则。分解因式条件。
认知策略 、数学规则学习活动之二：程序性基本技能的自动化。
规则是特殊领域内的程序性知识，促进其基本技能自动化是规则学习的重要内容。程序性基本技能自动化的获得可分为三个阶段：认知；联系；自动化。
在第一阶段，学生将使用自己已有的认知产生式，对某一技能作出陈述性的解释，并对这一技能的各项条件及行动形成或者进行最初具有陈述特征的编码。在第二阶段，知识将发生转变，一是最初对技能所作的陈述性表征将慢慢转变为特殊领域里的程序性知识；二是构成这一程序的各个部分的产生式间的联结将得到增强。在第三个阶段，整个程序本身将得到进一步的精致和协调，更多地表现出一种辨别特征。
在初中《平方差分解因式公式》规则学习中，对程序性基本技能自动化的三个阶段进行整理和分析如下：
阶段1：认知阶段。
1、 判断是否应用平方差公式。
2、 确定a项和b项。
3、 列出a+b项。
4、 列出a-b项。
5、 合并a+b项。
6、 合并a-b项。
7、 表达a+b项与a-b项的乘积。
8、 检验。
9、 若仍存在符合平方差分解因式公式的代数式，重复1至7步骤。
阶段2：联系阶段。
如果要运用公式法分解因式。
且现在有符合a2－b2平方差公式的多项式。
p1 那么判断能运用平方差分解因式公式。
如果要运用公式法分解因式。
且代数式符合a2－b2特征。
p2 那么+号后是a项，-号后是b项。
如果是要用公式法分解因式。
且多项式符合a2－b2特征。
且a项和b项已确定。
p3 那么将a项加上b项，得到结果1
如果目的是做a+b的加法。
且现在存在两个代数式的加法。
p4 那么将同类项合并：单位不变，系数相加。
如果是要用公式法分解因式。
且多项式符合a2－b2特征。
且a项和b项已确定。
p5 那么将a项减去b项，得到结果2
如果目的是做a—b的减法。
且现在存在两个代数式的减法。
p6 那么将同类项合并：单位不变，系数相减。
如果我们的目的是分解因式。
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