第五章平面向量、解三角形。
第一节平面向量。
第一部分六年高考荟萃。
2023年高考题。
一、选择题。
1.（四川理4）如图，正六边形abcdef中，=
a．0 b． c． d．
答案】d解析】
2.（山东理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（λ∈r），（r），且，则称，调和分割，,已知平面上的点c，d调和分割点a，b则下面说法正确的是
a．c可能是线段ab的中点
b．d可能是线段ab的中点。
c．c，d可能同时**段ab上
d．c，d不可能同时**段ab的延长线上。
答案】d3.（全国新课标理10）已知a，b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题。
其中真命题是。
a） （b） （c） （d）
答案】a4.（全国大纲理12）设向量a，b，c满足==1，=，则的最大值等于
a．2 b． c． d．1
答案】a5.（辽宁理10）若，，均为单位向量，且，，则的最大值为。
a） （b）1 （c） （d）2
答案】b6.（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为
a．[-2，2] b．[-2，3c．[-3，2d．[-3，3]
答案】d7.（广东理3）若向量ａ，ｂ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ则。
a．4 b．3 c．2d．0
答案】d8.（广东理5）已知在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为c
a． b． c．4d．3
答案】9.（福建理8）已知o是坐标原点，点a（-1,1）若点m（x,y）为平面区域，上的一个动点，则·的取值范围是。
a．[-1．0] b．[0．1c．[0．2] d．[-1．2]
答案】c二、填空题。
10.（重庆理12）已知单位向量，的夹角为60°，则。
答案】11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|1，|β1，且以向量α，β为邻边的。
平行四边形的面积为，则α与β的夹角的取值范围是 。
答案】12.（天津理14）已知直角梯形中，//是腰上的动点，则的最小值为。
答案】513.（上海理11）在正三角形中，是上的点，，则。
答案】14.（江苏10）已知是夹角为的两个单位向量，若，则k的值为。
答案】15.（安徽理13）已知向量满足，且，则a与b的夹角为 .
答案】16.（北京理10）已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k
答案】117.（湖南理14）在边长为1的正三角形abc中， 设则。
答案】18.（江西理11）已知，·=2，则与的夹角为
答案】2023年高考题。
一、选择题。
1.（2010湖南文）6. 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为。
a. 300 b. 600 c. 1200 d. 1500
答案】 c2.（2010全国卷2理）（8）中，点在上，平方．若，，，则。
a） （b） （c） （d）
答案】b 命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理。
解析】因为平分，由角平分线定理得，所以d为ab的三等分点，且，所以，故选b.
3.（2010辽宁文）（8）平面上三点不共线，设，则的面积等于。
ab） c） （d）
答案】c解析：
4.（2010辽宁理）(8)平面上o,a,b三点不共线，设，则△oab的面积等于。
(a) (b)
c) (d)
答案】c命题立意】本题考查了三角形面积的向量表示，考查了向量的内积以及同角三角函数的基本关系。
解析】三角形的面积s=|a||b|sin，而。
5.（2010全国卷2文）（10）△abc中，点d在边ab上，cd平分∠acb，若= a , b , 1 ，=2, 则=
a）a + b （b）a +b （c）a +b （d）a +b
答案】 b解析】b：本题考查了平面向量的基础知识。
cd为角平分线。
6.（2010安徽文）(3)设向量，则下列结论中正确的是。
ab)cd)与垂直。
答案】d解析】，，所以与垂直。
规律总结】根据向量是坐标运算，直接代入求解，判断即可得出结论。
7.（2010重庆文）（3）若向量，，，则实数的值为。
ab）c）2d）6
答案】 d解析：，所以=6
8.（2010重庆理）(2) 已知向量a，b满足，则。
a. 0bc. 4 d. 8
答案】 b解析：
9.（2010山东文）（12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令，下面说法错误的是。
a)若a与b共线，则。
b)c)对任意的，有。
d) 答案】b
10.（2010四川理）（5）设点m是线段bc的中点，点a在直线bc外，则。
a）8 （b）4c） 2d）1
解析：由＝16，得|bc|＝4
而。故2
答案】c 11.（2010天津文）（9）如图，在δabc中，，，则=
ab） （c） （d）
答案】d解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
12.（2010广东文）
13.（2010福建文）
14.（2010全国卷1文）（11）已知圆的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么的最小值为。
a) (b) (c) (d)
答案】d命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。
解析1】如图所示：设pa=pb=,∠apo=,则∠apb=，po=，=令，则，即，由是实数，所以，解得或。故。此时。
解析2】设，换元：，解析3】建系：园的方程为，设，15.（2010四川文）（6）设点是线段的中点，点在直线外，， 则。
a）8 （b）4 （c）2 （d）1
答案】c解析：由＝16，得|bc|＝4＝4
而故216.（2010湖北文）8.已知和点m满足。若存在实使得成立，则=
a.2 b.3c.4d.5
17.（2010山东理）(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令，下面说法错误的是（ ）
a.若与共线，则b.
c.对任意的，有 d.
答案】b解析】若与共线，则有，故a正确；因为，而。
所以有，故选项b错误，故选b。
命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
18.（2010湖南理）4、在中，=90°ac=4，则等于。
a、-16b、-8c、8d、16
19.(2023年安徽理)
20.（2010湖北理）5．已知和点m满足。若存在实数m使得成立，则m=
a．2 b．3 c．4 d．5
二、填空题。
1.（2010上海文）13.在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为，、分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线上的点，若（、）则、满足的一个等式是 4ab1
解析：因为、是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为，又。
双曲线方程为，=，化简得4ab1
2.（2010浙江理）（16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是。
解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。
3.（2010陕西文）12.已知向量a＝（2，－1），b＝（－1，m），c＝（－1，2）若（a＋b）∥c，则。
m答案】－1
解析：，所以m=-1
4.（2010江西理）13.已知向量，满足，， 与的夹角为60°，则
答案】 解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦定理等知识，如图，由余弦定理得：
5.（2010浙江文）（17）在平行四边形abcd中，o是ac与bd的交点，p、q、m、n分别是线段oa、ob、oc、od的中点，在apmc中任取一点记为e，在b、q、n、d中任取一点记为f，设g为满足向量的点，则在上述的点g组成的集合中的点，落在平行四边形abcd外（不含边界）的概率为 。
答案：6.（2010浙江文）（13）已知平面向量则的值是
答案 ：7.（2010天津理）（15）如图，在中，则 .
答案】d解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。
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