第六章数列。
第二节数列的应用。
第一部分六年高考题荟萃。
2024年高考题。
1.（四川理11）已知定义在上的函数满足，当时，．设在上的最大值为，且的前项和为，则。
a．3 b． c．2 d．
答案】d解析】由题意，在上，2．（上海理18）设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为。
a．是等比数列。
b．或是等比数列。
c．和均是等比数列。
d．和均是等比数列，且公比相同。
答案】d3．（福建理10）已知函数f（x）=e+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点a,b,c，给出以下判断：
①△abc一定是钝角三角形
②△abc可能是直角三角形。
③△abc可能是等腰三角形
④△abc不可能是等腰三角形。
其中，正确的判断是。
abcd．②④
答案】b4．（安徽理14）已知的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的。
等差数列，则的面积为。
答案】5．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。
答案】6．（安徽理18）
在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设求数列的前项和。
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
解：（i）设构成等比数列，其中则。
①×②并利用。
（ii）由题意和（i）中计算结果，知。
另一方面，利用。得。所以。
7．（福建理16）
已知等比数列的公比q=3，前3项和s3=。
i）求数列的通项公式；
ii）若函数在处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。
本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。
解：（i）由。
解得。所以。
ii）由（i）可知。
因为函数的最大值为3，所以a=3。
因为当时取得最大值，所以。
又。所以函数的解析式为。
8．（全国新课标理17）
已知等比数列的各项均为正数，且．
i）求数列的通项公式．
ii）设，求数列的前n项和．
解：ⅰ）设数列的公比为q，由得所以．
由条件可知c>0，故．
由得，所以．
故数列的通项式为an=．
故。所以数列的前n项和为。
9．（四川理20）
设为非零实数，1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；
ii）设，求数列的前n项和．
解析：（1）
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
2024年高考题。
一、选择题。
1.（2010江西理）5.等比数列中，，=4，函数。
则（ ）a． b. c. d.
答案】c解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。
2.（2010江西理）4. （
a. b. c. 2 d. 不存在。
答案】b解析】考查等比数列求和与极限知识。解法一：先求和，然后对和取极限。
3.（2010北京理）（2）在等比数列中，，公比。若，则m=
a）9 （b）10 （c）11d）12
答案】c4.（2010四川理）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则。
a）0 （bc） 1d）2
解析：由，且。
作差得an＋2＝2an＋1
又s2＝2s1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1
故是公比为2的等比数列。
sn＝a1＋2a1＋22a1＋……2n－1a1＝(2n－1)a1
则。答案】b
5.（2010天津理）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为。
a）或5 （b）或5 （cd）
答案】c解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和。
温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。
6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，5，=10，则=
a) (b) 7 (c) 6 (d)
答案】a命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想。
【解析】由等比数列的性质知，10,所以，所以。
7.（2010湖北文）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则。
a. bcd
8.（2010安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是。
a、 b、c、 d、
答案】 d分析】取等比数列，令得代入验算，只有选项d满足。
方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除。本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论。
2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则=
a． 2 b. c.4 d.6
9.（2010福建理）3．设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，n等于。
a．6b．7c．8d．9
答案】a解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。
命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
二、填空题。
1.（2010浙江理）（14）设。
将的最小值记为，则。
其中。解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题。
2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方。
所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.
3.（2010辽宁理）（16）已知数列满足则的最小值为。
答案】命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以。设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈n+,所以当n=5或6时有最小值。
又因为，，所以，的最小值为。
4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
答案：5.（2010天津文）（15）设是等比数列，公比，sn为的前n项和。记设为数列{}的最大项，则。
答案】4解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时tn有最大值。
温馨提示】本题的实质是求tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解。
6.（2010湖南理）15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，三、解答题。
1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分）
给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
i）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（ii）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为。
求和： 2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分）
已知数列的前项和．
ⅰ）求；ⅱ）证明：．
命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力。
参***】点评】2024年高考数学全国i、ⅱ这两套试卷都将数列题前置，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能，重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续。
3.（2010北京理）（20）（本小题共13分）
已知集合对于，，定义a与b的差为。
a与b之间的距离为。
ⅰ）证明：，且；
ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数。
ⅲ) 设p，p中有m(m≥2)个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为(p).
证明：（p）≤.
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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