第三节函数、方程及其应用。
第一部分六年高考荟萃。
2024年高考题。
一、选择题。
1.（2010上海文）17.若是方程式的解，则属于区间。
a）（0，1）. b）（1，1.25）. c）（1.25，1.75） （d）（1.75，2）
答案 d解析】
知属于区间（1.75，2）
2.（2010湖南文）3. 某商品销售量y（件）与销售**x（元/件）负相关，则其回归方程可能是。
ab. cd.
答案 a3.（2010陕西文）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。
那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为。
（a）yb）yc）yd）y＝
答案 b解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除c、d，若x=57，y=6，排除a，所以选b
法二：设，所以选b
3.（2010浙江文）（9）已知x是函数f(x)=2x+ 的一个零点。若∈（1，），则。
a）f()＜0，f()＜0 （b）f()＜0，f()＞0
c）f()＞0，f()＜0 （d）f()＞0，f()＞0
解析：选b，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题。
4.（2010山东文）（11）函数的图像大致是。
答案 a5.（2010山东文）（8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为。
a）13万件b)11万件。
(c) 9万件d)7万件。
答案 c6.（2010山东文）（5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则。
a）-3 （b）-1c）1d)3
答案 a7.（2010四川理）（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是。
abcd）解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－
于是－＝1 m＝－2
答案 a8.（2010四川理）（2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是。
abcd）解析：由图象及函数连续的性质知，d正确。
答案 d9.（2010天津文）（10）设函数，则的值域是。
a） （b） （c）（d）
答案】d解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。
依题意知，10.（2010天津文）（4）函数f（x）=
(a)（-2,-1） (b) （1,0） (c) （0,1） (d) （1,2）
答案】c解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选c
温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
11.（2010天津理）（8）若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是。
a）（-1，0）∪（0，1b）（-1）∪（1,+∞
c）（-1，0）∪（1d）（-1）∪（0,1）
答案】c解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。
由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
12.（2010天津理）（2）函数f(x)=的零点所在的一个区间是。
(a)（-2，-1）(b)（-1,0）(c)（0,1）(d)（1,2）
答案】b解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。
温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
13.（2010福建文）7．函数的零点个数为 (
a．3 b．2 c．1 d．0
答案】b解析】当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选c。
命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
14.（2010湖北文）3.已知函数，则。
a.4bc.-4d-
答案】b解析】根据分段函数可得，则，所以b正确。
二、填空题。
1.（2010上海文）14.将直线、、（围成的三角形面积记为，则。
答案】解析】b 所以bo⊥ac，所以。
2.（2010湖南文）10.已知一种材料的最佳加入量在100g到200g之间，若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是g
答案】171.8或148.2
解析】根据0.618法，第一次试点加入量为。
或 210－（210－110）0.618＝148.2
命题意图】本题考察优选法的0.618法，属容易题。
3.（2010陕西文）13.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝ .
答案 2解析】f（0）=2，f（f（0））=f(2)=4+2a=4a，所以a=2
4.（2010重庆理）（15）已知函数满足：，，则。
解析：取x=1 y=0得。
法一：通过计算，寻得周期为6
法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)= f(n-1) 所以t=6 故=f(0)=
5.（2010天津文）（16）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是___
答案】m<-1
解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题。
已知f（x）为增函数且m≠0
若m>0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
m<0，时有因为在上的最小值为2，所以1+即》1,解得m<-1.
温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
6.（2010浙江文）（16） 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，**六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与。
七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。
答案 207.（2010天津理数）（16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法，属于难题。
依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立。
当时函数取得最小值，所以，即，解得或。
温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解。
8.（2010广东文数）
9.（2010江苏卷）11、已知函数，则满足不等式的x的范围是___
解析】 考查分段函数的单调性。
三、解答题。
1.（2010福建文）21．(本小题满分12分)
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。
ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。
2.（2010湖北文）19.（本小题满分12分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：
m2）的旧住房。
ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6）
2024年高考题。
1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是。
ab. cd.
答案 a解析的零点为x=,的零点为x=1, 的零点为x=0, 的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g(0)= 1,g()=1,所以g(x)的零点x(0, )又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选a。
2.(2009山东卷文)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是。
答案 解析设函数且和函数，则函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点， 就是函数且与函数有两个交点，由图象可知当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点。所以实数a的取值范围是。
命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答。
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