一、基础知识与典型例题。
1. 不定方程。
如果一个方程的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程就叫不定方程。 如果没有特殊说明，我们在此所指的不定方程的系数都是整数，不定方程的解指的是整数解。
2. 二元一次不定方程。
最简单的不定方程为：…，该方程称为二元一次不定方程。
定理1 二元一次不定方程有解的充要条件是：.
定理2 如果二元一次不定方程有解，是它的一组解，那么，它的所有解为。
3. 不定方程的处理方法。
1）同余分析法。
在方程两边选取适当的模后，往往能找到方程的解应满足的某些必要条件，甚至推出方程无整数解。
例1.解不定方程。
例2.证明：不定方程没有整数解。
2）分解法。
将方程的一边化为常数，作质因数分解，另一边含未知数的代数式也作因式分解，考查各个因式的取值情况，再配对求解。
例3.证明：不定方程的全部正整数解是。
3）不等式分析法。
不等式分析法是指通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，解这些不等式就得到未知数取值的范围，从而达到求解目的的方法。
例4.试求表达式的值为整数的所有正整数。
例5.已知是质数，求不定方程的解。
4）构造法。
对于某些存在性命题，常采用构造法，构造一些数学模型来解决。
5）换元法。
若能判明不定方程的未知数之间有倍数关系，则常采用换元法消去未知数或倍数，使方程简化。
例6.试证：如果正整数使方程有一组整数解，那么这个方程至少有三组整数解。
6) 无穷递降法。
无穷递降法是证明某些不定方程无解时常采用的方法，其证明模式大致是：首先假定原方程有解，然后构造某个无穷递降的过程，并且从方程本身看，这个过程应是有限的，从而导出矛盾。无穷递降法的理论依据是“最小数原理”.
例7.证明不存在不同时为零，且满足方程的整数。
例8.证明方程没有正整数解。
第4讲 圆与方程
知识整合 1 圆的方程。1.圆的标准方程为。2.圆的一般方程为。2 直线与圆的位置关系。1.设直线与圆，圆心到直线的距离，方程组，为方程组消去一元后得到的方程的判别式。相交方程组有两个不同的解 相切方程组有一个解 相离方程组无解。2.直线与圆相交或相离。设斜率为的直线与圆的两个交点分别为，则或。3....
第4讲无理方程
知识梳理 1.方程中含有 且是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。常用的方法有 乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等。用乘方法 即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号 来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根。已知下列关于的方程 其中无理方程是填序号 2.代数方程的...
不定方程 2
1.求不定方程2x 3y 17的所有自然数解。2.求不定方程30x 9y 258的所有自然数解。3.求不定方程8x 9y 100的所有自然数解。4.明明带了5元钱去买橡皮和圆珠笔，橡皮每块4角，圆珠笔每支1元1角，问5元钱刚好买几块橡皮和几支圆珠笔？5.一个两位数除以5，所得的商和余数相等，求适合条...