一、选择题。
1．在第十一届全运会上，设立了很多安全检测点，已知检测点a和b与主会场o的距离相等．检测点a在主会场北偏东40°，检测点b在主会场南偏东60°，则检测点a在检测点b的( )
a．北偏东10° b．北偏西10°
c．南偏东10d．南偏西10°
解析】 如图，易知∠aob＝80°，又oa＝ob，∠oba＝50°，检测点a在检测点b的北偏西10°.
答案】 b2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )
a．1b．2sin 10°
c．2cos 10° d．cos 20°
解析】 如图所示，∠abc＝20°，ab＝1，∠adc＝10°，∠abd＝160°.
在△abd中，由正弦定理＝，ad＝ab·＝＝2cos 10°.
答案】 c3．(2013·中山高二检测)某工程中要将一长为100 m倾斜角为75°的斜坡，改造在倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )
图2－3－7
a．100m
b．100m
c．50(＋)m
d．200 m
解析】 在△abc中，b＝30°，∠bac＝75°－30°＝45°，ac＝100，由正弦定理得＝，bc＝sin 45°＝100.
答案】 a4．如图2－3－8，图2－3－8
货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在b点观测灯塔a的方位角为110°，航行h到达c点，观测灯塔a的方位角是65°，则货轮到达c点时，与灯塔a的距离是( )
a．10 km b．10 km
c．15 km d．15 km
解析】 在△abc中，bc＝40×＝20(km)，abc＝140°－110°＝30°，∠acb＝(180°－140°)＋65°＝105°，a＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得。
ac＝＝＝10 (km)．
答案】 b5．如图2－3－9所示，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔p的南偏西75°距塔68海里的m处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的n处，则这艘船航行的速度为( )
图2－3－9
a. 海里/小时。
b．34海里/小时。
c. 海里/小时。
d．34海里/小时。
解析】 由题意知pm＝68，∠mpn＝120°，∠n＝45°，由正弦定理知＝，mn＝68××＝34.
速度为＝ (海里/小时)．
答案】 a二、填空题。
6．(2013·临沂高二检测)在高200米的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为°，则塔高为___
解析】 如图，山高cd＝200，∠dcb＝30°，在rt△bcd中，cb＝＝.
在△abc中，∠acb＝30°，∠bac＝120°.
由正弦定理得＝，ab＝＝.
答案】 7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在a处看到一灯塔m在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达b处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为___km.
解析】 如图所示，依题意有ab＝15×4＝60，∠mab＝30°，∠amb＝45°.
在△amb中，由正弦定理得＝，解得bm＝30 km.
答案】 30
8．(2013·南京高二检测)一角槽的断面如图2－3－10，四边形adeb是矩形，若α＝50°，β70°，ac＝90 mm，bc＝150 mm，则de的长度等于___mm.
图2－3－10
解析】 连接ab，则∠bac＝90°－α40°，∠abc＝90°－β20°，∴c＝180°－40°－20°＝120°，∴ab2＝ac2＋bc2－2×ac×bc×cos 120°＝902＋1502－2×90×150×(－902＋1502＋90×150＝44 100，ab＝210，故de＝210.
答案】 210
三、解答题。
9．如图2－3－11，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的a，b，c三点进行测量．已知ab＝50 m，bc＝120 m，于a处测得水深ad＝80 m，于b处测得水深be＝200 m，于c处测得水深cf＝110 m，求∠def的余弦值．
图2－3－11
解】 如图所示，作dm∥ac交be于n，交cf于m.
则df＝＝＝10m，de＝＝＝130 m，ef＝＝＝150 m.
在△def中，由余弦定理，得。
cos ∠def＝
10．如图2－3－12所示，某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到a处时测得公路北侧远处一山顶d在北偏西60°的方向上，行驶6 km后到达b处，测得此山顶在北偏西15°的方向上，仰角为15°，求此山的高度cd.(精确到0.1 km)(参考数据：
≈1.41，≈1.73)
图2－3－12
解】 如题图所示，在△abc中，a＝30°，c＝75°－30°＝45°.
由＝得，bc＝＝3.
在rt△bcd中，cd＝bc×tan ∠dbc＝3×(2－)＝6－3≈1.1(km)．
答：山高约为1.1 km.
11．(2013·潍坊高二检测)如图2－3－13，海中小岛a周围40海里内有暗礁，一船正在向南航行，在b处测得小岛a在船的南偏东30°，航行30海里后，在c处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？
图2－3－13
解】 在△abc中，bc＝30，b＝30°，c＝135°，所以a＝15°.
由正弦定理知＝，即＝，所以ac＝＝60cos 15°＝60cos (45°－30°)
60(cos45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝15(＋)
于是，a到bc边所在直线的距离为：
acsin 45°＝15(＋)15(＋1)≈40.98(海里)，由于它大于40海里，所以船继续向南航行没有触礁的危险．
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