第八讲完全平方数。
一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：
判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：
分别记各图所示的小石子个数为[',altimg': w': 18', h':
23'}]altimg': w': 21', h':
23'}]1＝['altimg': w': 22', h':
25'}]
', altimg': w': 21', h': 23'}]1＋3＝4＝['altimg': w': 21', h': 25'}]
', altimg': w': 21', h': 23'}]1＋3＋5＝9＝['altimg': w': 22', h': 25'}]
', altimg': w': 22', h': 23'}]1＋3＋5＋7＝16＝['altimg': w': 22', h': 25'}]
', altimg': w': 22', h':
23'}]1＋3＋5＋…＋2n－1)＝[1+(n1)\\end×n}',altimg': w': 139', h':
43'}]altimg': w': 22', h':
21'}]
毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。（注：这个和其实就是奇数个数的平方）
例一】 求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……2n－1）
一讲一练：（04浙江五年级夏令营）袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。那么，最后袋中留下多少个球？
例二】 1234567654321×（1＋2＋……6＋7＋6＋……2＋1）是多少的平方？
练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？
练习二：['altimg': w': 24', h': 25'}]1008×b，其中a，b都是自然数，b的最小值是（ ）
例三的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？
一讲一练各有多少个约数？
例四】 （01abc）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：
第一秒，全部灯泡变亮；
第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；
第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；
一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；
那么第200秒时，明亮的灯泡有（ ）个。
练习一：1～2012中含有奇数个约数的数共有多少个？
练习二：从200到1800的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
例五】从1到1998的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？
一讲一练：自然数1～2012中，多少个数乘以12后得到一个完全平方数？
课后作业：1、公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了正方形数：
他们发现：1＝1，1＋3＝['altimg': w':
21', h': 25'}]4，1＋3＋5＝['altimg': w':
22', h': 25'}]9，1＋3＋5＋7＝['altimg': w':
22', h': 25'}]16……
那么第100个图有个点，第n个图有个点。
也就是说：从1开始的连续n个奇数的和，等于 。
2、黑板上写有从1开始的若干个连续奇数……擦掉其中一个奇数后，剩下的奇数之和为1998。那么擦掉的奇数是多少？
3、一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是多少？
4、祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是多少岁？
5、求下面各数的约数个数。
名同学面向教官，他们依次从1开始报数，直到200。第一次他们都向后转，第二次报数是2的倍数的同学转回来，第三次报数是3的倍数的同学往后转，第四次报数是4的同学往后转……不断下去，直到最后一次报数是200的倍数的同学往后转。问：
这时面向教官的同学有多少个？
7、从1000到5000的自然数中有奇数个约数的数有多少个？
～100中的一个数乘以6后，乘积是一个完全平方数，这个数最大是多少？
9、求一个能被180整除的最小完全平方数。
10、“1993与一个三位数的和”是一个完全平方数，这样的三位数有多少个？
11、已知一个自然数n满足：12！（即1×2×3×4×……12）除以n后，商是一个完全平方数，则n的最小值是多少？
大于100小于10000的完全平方数开平方用心算，正确率达100﹪。现介绍其方法如下： 首先要记住或会心算这几个乘法：
15×15＝225，25×25＝625，35×35＝1225，45×45＝2025，55×55＝3025，65×65＝4225，75×75＝5625，85×85＝7225，95×95＝9025。上面这组计算经观察可发现：相乘结果最后两位都是25，25前面的数字是由乘数的十位数字乘以十位上的数字加1得出。
如：85×85＝7225中的72是由8×9得出的。又如65×65＝4225中的42是由6×7得出的。
现在我们来研究大于100小于10000的完全平方数的开平方：
例1: 求5776算术平方根先把5776从个位按每两位分节为57，76; 考查57，因为 7的平方＝49＜57＜64＝8的平方。 所以 5776的算术平方根的十位上的数字是7。
又因为 5776＞5625＝75×75，且个位是6 ， 而在5至9之间的平方数个位是6的只有6的平方， 所以5776的算术平方根的个位上的数字是6； 所以5776的算术平方根是76。
例2:求6724的算术平方根解：①分节：
67，24 ②观察67在那两个平方数之间 64＜67＜81 ③取小定十位： 十位上的数字是8 ④与85的平方＝7225比较定个位： ∵6724＜7225且个位是4， 而在0至4之间的平方数个位是4的只有2的平方 ∴6724的算术平方根个位上的数字是2 所以6724的算术平方根是82 例3:
求1369的算术平方根解：①分节：13，69 ②观察取小：
∵9＜13＜16，∴3是十位上的数字 ③与35的平方1225比较定个位：∵1369＞1225，且个位数是9 在5至9之间的平方数个位是9的只有7，∴1369的算术平方根个位上的数字是7；所以1369的算术平方根是37。
五年级奥数 平方数
22 4，32 9，52 25 像 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如。12 1，22 4，32 9，42 16，112 121，122 144，其中1，4，9，16，121，144，都叫做完全平方数。下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后...
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五年级奥数 图形与面积 b 年级班姓名得分 一 填空题。1.下图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，那么它的周长是 厘米。2.第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一小方格的面积是1.那么7,2,1三个数字所占的面积之和是 3.下图中...