七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形。
本讲教育信息】
一。 教学内容：
寒假专题——恒等式、恒等变形。
二。 重点、难点：
恒等变形是代数中非常重要的部分，主要用到因式分解以及分式的运算及逆运算。
典型例题】例1] 如果多项式，当，为何值时，p的值最小？并求出p的最小值。
分析：本题要运用因式分解配方，但是有这一项，所以应当有一个三项的完全平方。
解： 当且仅当取“=”
又当且仅当时，取“=”
解得 ∴ 当时两个等号同时成立。
即p的最小值是1991
例2] 当变化时，求分式的最小值。
分析：变化时，分子分母都在变化不好求解，所以要把此分式分化至只有一个发生变化。解：原式。
当时，所以。
则原式所以的最小值为4
例3] 计算：
分析：本题若直接通分再去化简计算量非常大，因此必须认真分析式子的结构特点，寻找解决问题的突破口，不难发现，可设，，使问题的形式简捷，有利于问题的解决。解：因为
令，则原式。
例4] 求证：。
分析：注意等式右边的如果乘到左边，那么问题将大大简化。左。右边。
例5] 已知，求证：。
分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负数之和等于零，则这几个非负数均为零，所以应想到配方法。
证明：由已知条件化简得：
移项配方得：
即故命题成立。
例6] 若，求证：。
分析：要证明命题成立，只要证：
即可。因为则设。
则，则。 故命题成立。
例7] 已知，求证：。证明：
同理 于是。
例8] 设，求。
解：由题设知这样有。即
例9] 已知，求证：。
用分析法欲证：
再把上面的过程倒过来即可。
证明：说明：遇到从条件不好证的题目应用分析法倒推。
模拟试题】（答题时间：40分钟）
1. 已知：，求证：。
2. 已知：，，求证：
3. 已知：，，求证：。
4. 已知：，求证：（其中为任意正整数）。
5. 已知：（其中a，b，c为互不相等的实数），求证：
6. 已知：，求证：
7. 已知：、、为互不相等的实数，求证：
8. 若，求证：。
9. 已知：，求证：
10. 已知：，求证：。
七年级数学寒假专题——恒等式、恒等变形。
试题答案。1. 证明：
2. 证明：
左边。右边。
3. 证明：
4. 证明：
5. 证明：设则
6. 证明：设 （1）
1）×3+（3）得：（4）
2）×3+（4）×2得： 即。
7. 证明：
左边。8. 证明：
9. 证明：
1）左。左。
10. 证明：
或或。 ，，中至少有两个互为相反数。
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