x x 教育学校 2014 年春季。
3l个性化一对一名师培优精讲。
第讲。学科：数学年级：七年级姓名：xxx 老师：xxx 时间：2014-
教学标题】相交线与平行线、实数复习。
教学内容】第一课时相交线与平行线。
一、相交线、垂线。
1. 相交线的定义：在同一平面内，如果两条直线只有点，那么这两条直线叫做公共点称为两条直线的交点。
如图1所示，直线ab与直线cd相交于点o。
图1图2图3
2. 对顶角的定义：若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做。
如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角。
注意：两个角互为对顶角的特征是：（1）角的顶点公共；（2）角的两边互为反向延长线；（3）两条相交线形成2对对顶角。
3. 对顶角的性质：对顶角。
4. 邻补角的定义：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为。
如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°。
二、垂线。1. 垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
图4如图4所示，直线ab与cd互相垂直，垂足为点o，则记作ab⊥cd于点o。
其中“⊥”是“垂直”的记号；是图形中“垂直”(直角)的标记。
注意：垂线的定义有以下两层含义：
1）∵ab⊥cd（已知2）∵∠1＝90°（已知）
∴∠1＝90°（垂线的定义ab⊥cd（垂线的定义）
2. 垂线的性质。
1）性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。即垂线段最短。
3. 点到直线的距离。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
图5图6如图5所示，m 的垂线段pb 的长度叫做点p 到直线m 的距离。
4. 垂线的画法（工具：三角板或量角器）
5. 画已知线段或射线的垂线。
1）垂足**段或射线上。
2）垂足**段的延长线或射线的反向延长线上。
三、三线八角。
两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图6所示。
1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有 。
2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有。
3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有。
经典例题1. 判断下列语句是否正确，如果是错误的，说明理由。
1）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离；
2）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；
3）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直；
4）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。
经典例题2. 如下图（1）所示，直线de、bc被直线ab所截，问，各是什么角？
图（1）经典例题3 如下图（2），图（2）
（1）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（2）是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
（3与被第三条直线所截构成的角。
（4）与6是两条直线与被第三条直线所截构成的角。
经典例题4按要求作图，并回答问题。
1）先画一个△abc，使得∠abc＞90°；
2）分别画出这个三角形个边上的高ad、be和cf；
3）在你所画的图形中，写出所有的垂线段；
4）通过测量，写出点a到直线bc，点b到直线ac，点c到直线ab的距离。
经典例题5如图，mn⊥ab,垂足为m,mc平分∠amd, ∠bmd=440,求∠cmn的度数。
四、平行线及其性质。
1. 平行线的概念：在同一内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；
2）必须是两条直线；
3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。
两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。
2. 平行线的表示方法。
平行用“∥”表示，如图7所示，直线ab与直线cd平行，记作ab∥cd，读作ab 平行于cd。
3. 平行线的画法。
4. 平行线的基本性质。
1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
5. 平行线的判定方法：
1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
6. 平行线的性质：
1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。
2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。
3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。
经典例题6如图，已知∠amf=∠bng=75°，∠cma=55°，求∠mpn的大小。
经典例题7如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小。
经典例题8如图，已知：∠bap与∠apd 互补，∠1=∠2，说明：∠e=∠f
经典例题9如图，当∠bef=∠b,∠bed＝∠b＋∠d时，ab与cd有什么位置关系，试说明理由。
经典例题10小张从家（图中a处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中b处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中c处），试问∠abc为多少度？说明你的理由。
自我挑战如图，de，be 分别为∠bdc， ∠dba的平分线，∠deb=∠1＋∠2
1）说明：ab∥cd
2）说明：∠deb=90°
五、命题、定理、证明。
探索：在日常生活中，我们会遇到许多类似的情况，需要对一些事情作出判断，例如：
今天是晴天；⑵对顶角相等；⑶如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。像这样，判断一件事情的语句，叫做命题。
每个命题都是由___和___组成。每个命题都可以写成。“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部份是 ，用“那么”开始的部份是。
像前面举例中的⑵⑶两个命题，都是正确的，这样的命题叫做真命题，即正确的命题叫做___
例如：“如果一个数能被2整除，那么这个数能被4整除”，很明显是错误的命题，这样的命题叫做假命题，即错误的命题叫做___
我们把从长期的实践活动中总结出来的正确命题叫做公理；通过正确的推理得出的真命题叫做定理。
随堂练习：1．下列语句是命题的个数为（ ）
①画∠aob的平分线； ②直角都相等； ③同旁内角互补吗？ ④若│a│=3，则a=3.
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
2．下列5个命题，其中真命题的个数为（ ）
①两个锐角之和一定是钝角； ②直角小于夹角； ③同位角相等，两直线平行；
内错角互补，两直线平行； ⑤如果a a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
3．下列说法正确的是（ ）
a．互补的两个角是邻补角b．两直线平行，同旁内角相等。
c．“同旁内角互补”不是命题 d．“相等的两个角是对顶角”是假命题。
4．“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”是命题，其中，题设。
是结论是。
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