六年级奥数第十一讲

第十一讲简单几何体的表面积与体积的计算。

一、四种常见几何体的平面展开图。

1.正方体。

沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

2.长方体。

沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。

这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图6—3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体。

沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6—4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式。

1.长方体。

长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）

长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。

2.正方体。

正方体的表面积=6×a2

正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。

3.圆柱体。

圆柱体的侧面积=2πrh

圆柱体的全面积=2πrh+2πr2=2πr（h+r）

圆柱体的体积=πr2h（这里r表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。

4.圆锥体。

圆锥体的侧面积=πrl

圆锥体的全面积=πrl+πr2

母线长与高）。

三、例题选讲。

例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。

分析与解：从图6—5和图6—6中可知：与；与；与互相处于相对面的位置上。只要在图6—7

（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白面上的图案便可以补上。

先看图6—7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与处在互为对面的位置上。

再看图6—7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。

最后再看图6—7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。

图6—7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6—8中的（a）、（b）、（c）。

例2 图6—9中的几何体是一个长方体，四边形apqc是长方体的一个截面（即过长方体上四点a、p、q、c的平面与长方体相交所得到的图形），p、q分别为棱a1b1、b1c1的中点，请在此长方体的平面展图上，标出线段ac、cq、qp、pa来。

分析与解：只要能正确画出图6—9中长方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图6—10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段ac、cq、qp、pa。

例3 在图6—11中，m、n是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从m点绕圆柱体的侧面到达n，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体的母线mn将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图6—12，从m点绕圆柱体的侧面到达n点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点m到达不相邻的另一个顶点n。

而两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6—12和图6—13。

例4 图6—14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。

正方体的表面积为42×6=96（平方厘米）

一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）

几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）

答：（略）例5 图6—15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？

分析与解：从图6—15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积也是分别相同的。

因为小正方体的棱长是1厘米，所以。

上面的表面积为12×9=9（平方厘米）

前面的表面积为12×8=8（平方厘米）

左面的表面积为12×7=7（平方厘米）

几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=

答：（略）例6 图6—16中所示图形，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π3.

14）分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度。

因为圆锥形铅锤的体积为。

设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）2×x=100πx（立方厘米）

所以有下列方程：

60π=100πx，解此方程得：

x=0.6（厘米）

答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。

例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为75.36平方分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？

分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆钢截成两段后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子：

2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）2

=2πx+4π

根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：

2πx+4π=75.36

解方程：圆钢的体积为π×（2÷2）2×10≈31.4（立方分米）

答：（略）。

例8 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆锥的体积是多少（π=3.14）？

分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图6—17。

在图6—17中，字母r、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长公式：弧长=2лr×n÷360（这里r是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可求出弧长来。这个弧长就是底面圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半径r。

另外从图6—17中可以看出：圆锥的高、母线、底面圆的半径正好构成一个直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。

所以 2πr=12π，得r=6（厘米）

在直角三角形中，根据勾股定理有：

102=h2+r2，即h2=102-r2

=100-36=64，h=8（厘米）

答：（略）例9 图6—18中的图形是一个正方体，h、g、f分别是棱ab、ad、aa1的中点。现在沿三角形gfh所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体积的几分之几？

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以ha与ag、af都垂直。即ha垂直于三角形agf所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形agf为底面，h为顶点的一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3。

三棱锥的底面是直角三角形agf，而角fag为90°，g、f又分别为ad、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为。

答：（略）例10 图6—19是一个里面装有水的三棱柱封闭容器，图6—20是这个三棱柱的平面展开图。当以a面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以b面与c面分别作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？

分析与解：我们先求以a面作为底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体积，与以梯形fjqp为底面、ji为高的棱柱的体积相等。

棱柱的体积等于底面积乘以高，从图6—20可以看出，此棱柱的高ji为12厘米，梯形fjqp的下底fj为3厘米，高**为2厘米。因为ptjq是个长方形，所以**=pt=2厘米，而q点是gj的中点，pq平行于fj，这样可以推算出qp为fj的一半，为1.5厘米，这一来梯形fjqp的面积为。

以c面为底面时，水的体积与以c（即三解形ehi）为底面，高为某数值。

此时水面的高度为：

54÷6=9（厘米）

以b面作为底面时，原来以a面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间的数量关系。

为方便起见，我们把c面适当放大成图6—21，在图6—21中，因为pq平行于fj，pt垂直于fj，所以jqpt是一长方图6zi形，故jq、pt、qg的长都是2厘米，tj、pq的长为1.5厘米，因为fj长为3厘米，所以ft的长也为1.5厘米，这一来三角形fpt与pqg的形状一样，面积相等。

这便说明原来以三角形pft为底面，ji为高的装水的棱柱的体积，与现在以三角形pqg为底面，ji为高装水的棱柱的体积是相等的。所以以b面为底面时，水面的高度等于pq的长度，即水面高为1.5厘米。

答：（略）

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