《正比例反比例》单元分析。
正比例和反比例是《数学课程标准》“数与代数”领域的重要内容，《数学课程标准》在4～6年级学段提出了四条具体目标：1、在实际情景中理解什么是按比例分配，并能解决简单问题。2、通过具体问题认识成正比例、反比例的量。
3、能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。4、能找出生活中成正比例或成反比例的实例，并进行交流。
本套教材安排两次落实上述4条标准：第一次安排在六年级上册第二单元“比和比例”，落实《标准》第1条目标。第二次是本单元的“正比例反比例”，落实《标准》第条目标。
本单元教材的设计思想和内容编排特点是：
强调对正比例、反比例实际意义的理解，让学生经历正、反比例概念的建构过程。主要体现在以下三个方面。
第一，认识正比例、反比例时，先不总结正比例、反比例的字母表达式。本单元内容安排如下：第一课时，认识成正比例的量，找出生活中成正比例的量，并进行交流。
第二课时，根据正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值；第三课时，认识成反比例的量，找出生活中成反比例的量，并进行交流；第四课时，正反比例的复习，总结字母表示式。
第二，重视选取学生熟悉的事例，让学生通过具体情境理解两种量的变化规律，理解正、反比例的实际意义，经历正比例、反比例概念的发生、发展和建构的过程。
如，认识正比例，首先选择学生非常熟悉的行程问题，使学生认识到“在速度不变的情况下，路程随着时间的变化而变化，时间扩大，路程也随之扩大”，进而介绍路程和时间这两种量成正比例。然后选择了买自动笔的事例，给出一枝笔的价钱和买不同枝数与所花钱数的数据。首先让学生观察数据，发现数据的变化规律：
“买的枝数越多，花的钱越多”，再讨论花的钱数与买笔的枝数这两种量是否成正比例。在学生理解成正比例的两种量变化规律的基础上，总结出正比例关系的规范化表述。然后，让学生找出生活中成正比例关系的实例，进行交流。
这样认识成正比例、反比例的量，有助于学生理解成正、反比例关系量的本质特征，能更好地判断生活中哪些量成正比例关系，那些量成反比例关系。
第三，通过同一事物中数量间变化规律的研究讨论，进一步理解正比例、反比例的实际意义。
教材在分别认识正比例、反比例之后，安排了一节练习课，结合具体事例，讨论常见数量关系中的三种量“总价、数量、单价”、“时间、路程、速度”等，在什么情况下成正比例关系，在什么情况下成反比例关系，这样的问题讨论既巩固了所学知识，更发展了学生的数学思维。最后介绍用x、y表示两种相关联的量，k表示一定的量，正比例的关系可以用y÷x=k；x·y=k表示。
本单元的教育目标是：
1、通过具体问题认识成正比例、成反比例的量，能找出生活中成正比例和成反比例量的实例，并进行交流。
2、能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值。
3、在判断成正比例或成反比例量的过程中，能进行有条理的思考，能对结论的合理性做出有说服力的说明。
4、能探索出解决问题的有效方法，并试图寻找其它方法。
5、对现实生活中成正、反比例的事物有好奇心，认识到许多实际问题可以借助画图的方法来解决。
本单元课时安排：
本单元共安排5课时，其中，综合应用“汽车耗油量问题”用1课时。第1课时，认识成正比例关系的量。
教材选择了学生熟悉的，容易理解的行程问题，购物问题来认识成正比例的量。首先，用汽车里程表呈现了汽车行驶路程和时间的情境，设计了五个层次的问题：一是通过观察实物图学会看汽车里程表，计算出汽车的速度；二是在**中填出汽车的速度不变，2小时、3小时……行的路程；三是写出相对应的路程和时间的比，并求出比值，得出比值都是90。
四是介绍“90既是比值，又是速度”，并用式子表示路程、时间和速度几个量的关系：路程/时间=速度（比值一定）。五是讨论“议一议”：
在速度一定的情况下，路程和时间有什么关系？在学生用自己的语言描述路程和时间变化规律的基础上，结合实例描述出正比例的意义。教学时，一定要让学生在已有知识背景下，经历自主解决问题，认识新知识的过程，让学生理解路程是怎样随着时间的变化而变化的（暂不讲正比例关系）。
在学生初步了解正比例意义的背景下，教材选择了学生熟悉的买自动铅笔的素材，给学生每支的单价，让学生填写出买不同支数应付得钱数，这样设计的目的是：让学生在填表的过程中去发现铅笔的价钱和所买的支数的规律，得出：总价/支数=单价（一定）的关系式。
接着安排了“议一议”：
花的钱数和买自动笔的支数成正比例吗？为什么？让学生利用刚学的知识进行判断和用语言描述。
学生结合实际情况用正比例的实际意义判断的基础上，教材给出了正比例关系的一般化描述。认识了成正比的量后，在“试一试”中，安排了判断两种量是否成正比例关系和找出生活中成正比例关系的实例的交流活动。教学中，要让学生经历自主计算、发现数据变化规律并充分交流的空间，使学生真正理解成正比例的量的内在变化规律；即：
一个量扩大或缩小，另一个量按比例同时扩大或缩小。
第2课时，画图表示成正比例关系的量。
本节课的内容是《数学课程标准》新增加的内容。根据标准的要求，教材选择了购买彩带的事例，设计了三个层次的内容。（1）根据彩带单价和购买数量填表，并判断购买彩带的长度和需要的钱数是否成正比例关系，并说明理由。
这个内容既是对正比例知识的复习，也是新知识的背景。（2）在有坐标系的方格纸上表示表中的数据。（3）看图估计买一定长度彩带要花多少钱。
这是学生第一次接触用图像表示数量关系，教学画图时，教师要通过示范画图，使学生了解方格纸上横向、纵向射线上数据是怎样确定的，也可以简单介绍横轴和纵轴，图中的红点是怎样确定的等。教学根据图估计时，也要通过讲解和示范使学生了解看图估计的方法。如，估计2.
5米彩带花了多少钱，首先要在表示米数的横轴的正中间找到2.5对应的点，然后从这个点做纵轴的平行线，交于方格纸上各点的连线，再从这个交点向左做出横轴的平行线交于纵轴，这个点表示的数据就是购买2.5米彩带花的钱数。
另外，学生解决教材中的两个问题后，可鼓励学生提出其它类似问题。如，购买3.5米花多少钱？
22元买多少米彩带等。“练一练”中，设计了在方格纸上表示路程和时间的关系并回答的练习，还安排了调查并用图表示相关数据的内容。
第3课时，认识成反比例关系的量。
这节课内容的设计思路与认识成正比例的量一样，首先设计了书中四个同伴看《安徒生童话选》的事情，并以统计表的形式呈现出每天看页数和需要的天数的相关数据，提出“从表中，你发现了什么规律？”的问题。在学生发现并用自己的语言描述规律的基础上，总结出数量关系：
每天看的页数×天数=书的总页数（一定），并结合看书问题介绍反比例的意义。在学生初步了解反比例意义的背景下，教材设计了把10元人民币换成零钱的素材，首先，让学生根据零钱的面值，填出换的张数，然后提出“从表中，你发现了什么？”的问题。
在学生发现并用自己的语言描述的基础上，总结出数量间的关系：零钱的面值×张数=10（元），并提出“议一议”：零钱的面值与张数这两种量成反比例吗？
为什么？在学生利用前面的知。
识进行判断的基础上，给出反比例关系的一般化表述，完成认识反比例量的过程。接着在“试一试”中，设计了“判断两种量是否成反比例，并说明理由”，以及“找出生活中成反比例的实例，并进行交流”的练习。教学中，要注意利用学生对具体事物中数量关系变化的经验，认识成反比例关系的量的特点，要给学生自主判断、充分交流的空间。
使学生真正理解成反比例量的本质：一个量扩大或缩小，另一个量同时按比例缩小或扩大。“知识窗”中介绍了画图表示反比例的量，供学有余力的学生选学，不做统一要求。
第4课时，正比例、反比例的字母表达式。
在学生初步认识了正比例、反比例意义之后，安排了本节练习课，主要内容是讨论、研究常见的数量关系中三个量的变化与正、反比例的关系，以及正、反比例的字母表达式。正、反比例的关系虽然是研究**两个量的关系，实际上都涉及到三个量，如，单价一定时，数量和总价成什么比例？在学生已经认识正、反比例意义的基础上，通过对常见数量关系中的三个量其中一个量不变，另外两个量成什么比例的问题研究，可以使学生进一步理解正、反比例的意义，发展学生思维。
本节课首先安排了两个问题，第1题，根据两种方便面的数据回答问题。给出了两组数据：（1）买方便面的总价和数量，（2）买方便面的单价和数量。
并分别讨论两种量是怎样变化的，他们成什么比例关系？接着“议一议”提出三个方面的问题，讨论总价、数量、单价这几个量在某一个量一定的情况下，其它两个量成什么比例关系。第2题，用**给出了自行车行驶时间和路程的数据，提出两个问题：
（1）判断路程和时间成什么比例关系，（2）说明时间、路程和速度这三种量，在什么情况下成正比例关系，在什么情况下成反比例关系。然后说明用x、y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，总结正比例、反比例的字母表达式。教学中，要给学生独立思考，自己总结充分交流的机会。
结合本单元，安排综合应用——汽车耗油量问题。
汽车的耗油量和行驶路程是典型的成正比例关系的量，教材选择了王叔叔开车旅游中途加油的事例，用出发时到加油时汽车油表、里程表呈现了有关数据信息，然后提出了四个问题，这些问题都使用已有知识能够解决的。教学时，首先要让学生仔细观察发现问题情境中所包含的数学信息，鼓励学生用已有的知识和经验探索解决问题的方法，发展数学应用意识。
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