工程问题是分数应用题中最重要的一大类，因为处理这类问题的解题技巧独特且应用广泛，所以工程问题往往受出题者青睐，在各种数学竞赛和小升初考试中，工程问题和需要使用工程问题算术方法的类工程问题也经常出现。
1. 工程问题的基本数量关系与一般解法；
2. 工程问题中的常见解题方法；
3. 工程问题算术方法在其他类型式题中的使用。
例1】 一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成。甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天。乙请假多少天？
分析】 （法一）甲一共干了天，完成了，还有，是乙做的，乙干了了（天），休息了（天），请假天数为：（天）。
法二）假设乙没有请假，则两人合作天，应完成，超过单位“1”的，则乙请假（天）。
拓展】一项工程，甲队单独干天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单独做天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？
分析】甲的工作效率：，甲的工作量：，乙的工作量：，乙的工作效率：，所以乙单独完成这项工作需天。
例2】 搬运一个仓库的货物，甲需小时，乙需小时，丙需小时。有同样的仓库和，甲在仓库，乙在仓库同时开始搬运货物，丙开始帮甲搬运，中途又转向帮乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲、乙各搬运了几小时？
分析】 （1）甲、乙、丙搬完两个仓库共用了：小时。
2）丙帮助甲搬运了小时。
3）丙帮乙搬运了小时。
拓展】甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需时间分别是天，天，天。现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天。问丙队与乙队合做了多少天？
分析】三队合做完成二项工程所用的天数天，丙帮乙队做的天数：天。
一、 代换法。
例3】 一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时。乙单独开几小时可以灌满？
分析】 根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开、第三个2小时单独开。这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙独开2小时，正好灌满一池水。可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为，所以整池水由乙管单独灌水，则需要（小时）。
巩固】一项工程，甲独做天完成，甲天的工作量，乙要天完成。两队合做天后由乙队独做，还要几天才能完成？
分析】（法一）两队合做天，看做甲先做两天，乙再做2天，然后再将剩下的工程完成，那么乙做的部分相当于甲做的4天，所以乙做了天，除去与甲合作的2天，以还要做天。
法二）甲的工作效率为，所以乙的工作效率为。两队合作2天后乙队独做还要天才能完成。
例4】 一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半。已知甲、乙工效的比是。如果这项工程由乙单独做需要多少天才能完成？
分析】 根据甲、乙工效比是，可以知道，完成同样的工作量，甲、乙所用的时间比是，也就是同样的工作量，乙所用的时间是甲的。由“甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成工程的一半”可知，甲一共做了天，把甲9天做的工作量给乙做，乙要天。完成工程的一半乙要用6+7=13天。
所以这项工作由乙单独来做需要天。
例5】 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
分析】 本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是。
又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的，，甲、乙合作这一工程需用的时间为(天)。
例6】 一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？
分析】 ①若甲、乙两人合作共需多少小时？
小时）。甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？
余下的由甲独做需要多少小时？
小时）。共用了多少小时？（小时）。
注：在工程问题中，转换条件是常用手法。“甲做1小时，乙做1小时，他们相当于合作1小时，也即是每2小时，相当于合做1小时．”这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，余下部分问题就好解决了。
例7】 某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，10小时可完成这项工作。如果交换工人和的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会晚1小时完成；如果交换工人和的工作岗位，其他工人生产效率不变时，就会提前1小时完成；问：如果同时交换工人和，和的工作岗位，其他工人生产效率不变，多久可以完成这项工作？
分析】 最初的效率为，交换工人和后效率减少，交换工人和后效率增加，同时交换工人和，和后效率变为，所需时间为：。
二、 比例法。
例8】 打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。甲、乙两合做需几天完成？
分析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成。如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成。”可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量。
完成这项工作甲、乙所用的时间比是，同时也说明甲、乙单独做，乙用的时间比甲多3+2=5天。乙独做的天数是：（天），甲独做要15-5=10（天），甲乙合做需（天）。
注：注意工程问题里也经常用到比例，是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系。其实这一点是与工程习惯无关的。
例9】 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务．甲车单独清扫需10小时，乙车单独清扫需15小时，两车同时从东、西城相向开出，相遇时甲车比乙车多清扫12千米．问：东、西两城相距多少千米？
分析】 （法一）⑴先求出甲、乙相遇的时间：小时。
甲清扫全长的，乙清扫了全部的。
东西两城相距千米。
法二）因为时间相等，路程比等于速度比，这样相遇时甲、乙清扫的路程比是，甲行了全程的，乙行了全程的，全程就是千米。
例10】 甲、乙两项工程分别由。
一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？
分析】 （法一）在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高-=；在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高。
由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。
法二）设晴天有天，雨天有天，一队在下雨天的工作效率是：。
二队在下雨天的工作效率是：，所以有：，解得：。
三、 列表法。
例11】 放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分可以完成？
分析】 根据条件，列表如下：
由表中可知，每个阀门都出现了三次，所以：
天）拓展】某工程如果由第。
一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第。
一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第。
二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第。
一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
分析】首先将各个小队之间的组合列成表：
如表：一队、三队在表**现次，二队、四队、五队、各出现次，如果第。
二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中各个小队都被计算了次。所以五个小队的工作效率之和为：，五个小队一起合干需要天。
例12】 一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元，现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？
分析】 甲、乙、丙、丁的工效和是：；
甲的工效是：；乙的工效是：；
丙的工效是：；丁的工效是：。
确保工程要100天以内完成，只能选择丙队或丁队，然后比较支付的工程款。
甲、乙、丙每天需要的工程款元；甲、乙、丁每天需要的工程款；乙、丙、丁每天需要的工程款元；甲、丙、丁每天需要的工程款元。
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为元。
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是元，元，元，元。
如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付元，由丁队来完成，需要支付元。相比较，工程应该交给丙队。
1. 一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完。现在甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要几小时才能完成？
分析】 由题意可知：甲，乙合作的效率为：；乙单独的工作效率为，所以甲单独的效率。甲先抄2小时，剩下的甲乙合作，还需要小时。
2. 抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的。如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天都能完成？
分析】 3人合抄只需8天就完成了，三人的合作工作效率为；甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和，说明甲的工作效率等于乙、丙合作工作效率，且都是三人合作效率的一半，即；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的，即甲、乙合作工作效率为丙的5倍，甲=乙+丙，甲+乙=5丙，则乙的工作效率是丙的2倍，那么，乙的工作效率=×=所以，乙一人单独抄需要24天才能完成。
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