岳阳市七中八年级数学下

如何用空间向量求解二面角。

万立勇。河南省信阳市新县高中，465550）

求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。

在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量、，有cos＜，＞利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．

例1 (2024年全国高考理科试题) 在四棱锥v-abcd中，底面abcd是正方形，侧面vad是正三角形，平面vad⊥底面abcd．求。

面vad与面vdb所成的二面角的大小．

证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边。

长为1，依题意。

得= (0，1，0)，是面vad的法向量，设= (1，y，z)是面vdb的法向量，则。

cos＜，＞又由题意知，面vad与面vdb所成的二面角为锐角，所以其大小为。

例2 (2024年全国高考四川、云南、吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三棱柱abc—a1b1c1中，∠acb =，ac=1，cb=，侧棱aa1=1，侧面aa1b1b的两条对角线交点为d，b1c1的中点为m．

求证cd⊥平面bdm；

求面b1bd与面cbd所成二面角的大小．

解：⑴略。如图，以c为原点建立坐标系。设bd中点为g，连结bg，则依g

·= 0，∴bd⊥bg．

又cd⊥bd，∴与的夹角等于所求二面角的平面角．

cos==－

所以所求二面角的大小等于－arccos．

例3 (2024年天津高考理工试题)如图，在四棱锥p—abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd⊥底面abcd，pd=dc，e是pc的中点，作ef⊥pb交pb于点f．求二面角c—pb—d的大小。

解：如图所示建立空间直角坐标系，d为坐标原点，设。

设点f的坐标为，=，则．

从而．所以=．

由条件ef⊥pb知，·=0，即，解得．

点f的坐标为，且，·，即，故是二面角c—pb—d的平面角．

·=，且，，，

所以，二面角c—pb—d的大小为．

例4 已知三棱柱—ab中，平面⊥平面，∠=且== 2，=，求二面角—ab—的大小．

解：以为原点，分别以，所在的直线为x，y轴，过点且与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．如图，则(0，0，0)，(0，1，)，a(，0，0)，(1，)，b(0，2，0)．

显然为平面的法向量，取= (0，0，1)，设平面的法向量为= (x，y，z)，则

即，令y =，x = 2，z = 1，则= (2，，1)．

cos＜，＞即＜，＞arccos．

故二面角—ab—的大小为arccos．

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