多边形内角和。
1．多边形及正多边形。
1)多边形的定义。
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．
在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相接，二者缺一不可．
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形．
2)多边形的有关概念。
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同．
边：组成多边形的线段叫做多边形的边．
顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．
对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角．
如图1所示．
图1多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．多边形的表示方法与三角形、四边形类似，可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图1，可表示为五边形abcde，也可表示为五边形edcba.
3)正多边形。
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．如图2中的多边形分别为：正三角形、正四边形(即正方形)、正五边形、正六边形、正八边形．
图2正多边形必须具备“各边相等、各角也相等”这两个条件，缺一不可．如各角相等的四边形是长方形，不是正方形；各边相等的四边形是菱形(20．3节讲到)，也不是正方形．只有各角相等，各边也相等的四边形才是正方形．
正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形(20．4节讲到)．
4)多边形的对角线的条数。
根据多边形的对角线的定义，从四边形的一个顶点可以引一条对角线；从五边形的一个顶点可以引两条对角线，那么从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线．n边形共有n个顶点，共有n(n－3)条对角线，但每条对角线都算两遍，所以n边形共有条对角线．
例1】说出图中各多边形的名称，指出每个多边形的边和角，并画出其外角．
解：(1)四边形abcd，边有ab，bc，cd，da；角有∠dab，∠abc，∠bcd，∠cda，如图(1)中，四边形abcd的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，共8个．
2)五边形abcde，边有ab，bc，cd，de，ea；角有∠eab，∠abc，∠bcd，∠cde，∠dea，如图(2)中，五边形abcde的外角有∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7，∠8，∠9，∠10，共10个．
多边形的内角与多边形的外角要严格区分，内角在多边形内部，由相邻的两边组成，多边形的内角的个数与多边形的边数相同；而外角在多边形的外部，是在顶点处由多边形的一边与另一边的延长线所形成的角，故在同一顶点处有两个外角，它们是对顶角，故多边形的外角个数是边数的2倍．应注意的是由两条边的延长线所构成的角不是多边形的外角，如图(1)中的∠eaf不是四边形abcd的外角．
2．多边形的内角和。
1)n边形的内角和公式。
n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
由多边形内角和定理可知，多边形的内角和一定是180°的倍数，在解有关题目时，要注意应用．
2)推导方法。
多边形的内角和公式的推导方法有很多，但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的，即利用多边形对角线或对角线的一部分，可以把多边形分割成若干个小三角形，再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和．这种转化是化归思想的体现，也是解决多边形问题的基本思想．下面提供三种常见的方法：
方法一：如图①所示，以多边形的某一个顶点为端点，与其他顶点相连接构成多边形的对角线，把多边形分割成(n－2)个小三角形．n边形的内角和恰好等于(n－2)个三角形的内角和(n－2)·180°.
方法二：如图②所示，在n边形中，取某边上一点(非顶点)为端点，与其他顶点相连，把多边形分割成(n－1)个小三角形．n边形的内角和等于(n－1)个三角形的内角和减去点p处的一个平角，即(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°.
方法三：如图③所示，在n边形的内部任取一点，与多边形的各顶点相连，把多边形分割成n个小三角形．n边形的内角和等于n个三角形的内角和n·180°减去以o为公共顶点的n个角之和360°，即n·180°－360°＝(n－2)·180°.
3)内角和定理的作用。
已知边数，求内角和；
已知内角和，求边数．
例2】一个多边形共有27条对角线，则这个多边形是几边形？该多边形的内角和为多少度？
分析：题目给出多边形的对角线的条数，由n边形对角线的总条数为可求边数，再根据多边形内角和定理可求出内角和．
解：设这个多边形的边数为n，则＝27，解得n1＝9，n2＝－6.
n＞0，∴n＝9，∴该多边形的内角和为(9－2)×180°＝1 260°.
答：这个多边形是九边形，其内角和为1 260°.
3．多边形的外角、外角和。
1)多边形的外角以及外角和的定义。
多边形中在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和．
一般地，在多边形的任一顶点处按顺(逆)时针方向可作外角，n边形有n个外角．
2)多边形外角和性质。
内容：多边形的外角和都等于360°.
多边形的外角和与边数n无关．
推导过程：多边形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，n边形的外角和加内角和等于n·180°.
又∵内角和为(n－2)·180°，外角和为n·180°－(n－2)·180°＝360°.
3)外角和定理的作用。
已知各相等外角度数，求多边形边数；
已知多边形边数，求各相等外角的度数．
4)多边形中锐角、钝角的个数。
多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角(如长方形)；多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角．
例3】若一个多边形的内角和与外角和之和是1 800°，则此多边形是( )
a．八边形 b．十边形。
c．十二边形 d．十四边形。
解析：设此多边形的边数为n，则(n－2)·180°＋360°＝1 800°，解得n＝10，故选b.
答案：b熟记多边形的内角和公式与外角和是解决本题的关键．n边形的外角和是一个定值，而内角和只与边数n有关．
4．利用多边形内角和公式或外角和求多边形的角或边。
多边形内角和公式(n－2)·180°与边数n有关系，当已知多边形的边数n，就可以求得多边形的内角和．同理，当多边形的内角和已知时，多边形的边数也是确定的．
根据n边形的一个内角与和它相邻的外角互为补角，我们可以得到多边形外角和都为360°.利用多边形的外角和为360°，常常能使问题的解决变得更为简单．
例4】一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数．
分析：正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是360°，因此只要求出每个外角的度数，就可以知道是几边形了．
解：设这个正多边形的一个外角为x°，则一个内角是x°＋36°，由题意得x＋x＋36＝180，解得x＝72,360÷72＝5，故它是正五边形，即这个正多边形的边数是5.
1)多边形的外角和等于360°，与边数无关，故常把多边形内角和的问题转化为外角和问题来处理．
2)多边形的一个内角与相邻外角互补．
3)多边形的外角的个数等于多边形的边数的2倍．,5．多边形的内角与外角的关系。
1)对于n边形的内角和为(n－2)·180°，在学习中要明确以下几点应用：
已知边数n，可求得其内角和．
如：十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°.
边数每增加1，内角和就增加180°，如：九十七边形内角和比九十五边形的内角和大360°.
如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n.如：已知一个多边形的内角和等于1 080°，求它的边数n.
首先我们可以运用公式列出方程(n－2)×180°＝1 080°，解这个方程，得n＝8.
2)对于多边形的外角和为360°，应明确两点：
多边形的外角和与边数n无关．
将多边形内角问题转化为外角问题，常常有化难为易的效果．
3)多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°，外角和等于n·180°－(n－2)·180°＝360°，多边形的外角和是定值，与边数无关．,例5－1】一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2 030°，求这个多边形的边数和这个被去掉的内角的度数．
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