一、 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
1、①如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处。 大树在折断之前高多少？
、一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
2、一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端滑动 m．
3、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形a，b，c，d的面积的和是 cm2．
4、已知rt△abc中，∠c＝90°，若cm， cm，则rt△abc的面积为（ ）
a. 24 cm2b. 36 cm2
c. 48 cm2d. 60 cm2
5、如图，已知直角△abc的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．
6、若△abc中，∠c=90°，（1）若a=5，b=12，则c2）若a=6，c=10，则b3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .
7、直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为。
8、等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（ ）
a．30 cm2b．130 cm2c．120 cm2d．60 cm2
9、轮船从海中岛a出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地b，求ab两地间的距离。
知识拓展。7．折叠长方形abcd的一边ad，使点d落在bc边的f点处，若ab=8 cm，bc=10 cm，求ec的长。
12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边ac＝6 cm，bc＝8 cm，现将直角边ac沿直线ad折叠，使它恰好落在斜边ab上，且与ae重合，求cd的长．
二、如果一个三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，满足的三个正整数，称为勾股数。
1．下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？请说明理由。
解答：①②2．一个三角形的三边长分别是，则这个三角形的面积是（ ）
a 250 b 150 c 200 d 不能确定。
解答：b3．如图，在中，于，，则是（ ）
a 等腰三角形 b 锐角三角形
c 直角三角形 d 钝角三角形。
解答：c三、将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．
1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？
解答：如图：已知a是甲、乙的出发点，10:00甲到达b点，乙到达c点．则：
ab=2×6=12（km）
ac=1×5=5（km）
在rt△abc中：
∴bc=13（km）．
即甲乙两人相距13 km．
2．如图，台阶a处的蚂蚁要爬到b处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．
解答：.3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？
解答：设伸入油桶中的长度为x m．
则最长时：
最长是2.5+0.5=3（m）．
最短时：．最短是1.5+0.5=2（m）．
答：这根铁棒的长应在2～3m之间．
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的**有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解答：设水池的水深ac为x尺，则这根芦苇长为ad=ab=（x+1）尺，在直角三角形abc中，bc=5尺。
由勾股定理得：bc2+ac2=ab2.
即 52+ x2=（x+1）2.
25+x2= x2+2x+1.
2x=24.
x=12，x+1=13．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
6．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m．按照输油中心o到三条支路的距离相等来连接管道，则o到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心o为点）是（ ）
a . 2m b．3m c．6m d．9m
8．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点c处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点a处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．
三、如何判断一个三角形是直角三角形．
判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．
1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．
例如：①在△abc中，，根据三角形的内角和定理，可得，根据定义可判断△abc是直角三角形．
在△abc中，，由三角形的内角和定理可知，，，abc是直角三角形．
2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．
例如：①△abc的三条边分别为，而，根据勾股定理的逆定理可知△abc是直角三角形，但这里要注意的是b所对的角．
在△abc三条边的比为，△abc是直角三角形．
利用勾股定理求图形面积：
1．求出下列各图中阴影部分的面积．
图（1）阴影部分的面积为＿＿＿答案：1）
图（2）阴影部分的面积为＿＿＿答案：81）
图（3）阴影部分的面积为＿＿＿答案：5）
2． 已知rt△abc中，，若，求rt△abc的面积．
**三：利用勾股定理逆定理判定△abc的形状或求角度。
1. 在△abc中，的对边分别为，且，则（ ）
a）为直角 （b）为直角 （c）为直角 （d）不是直角三角形。
解：，∴故选（a）.
2．已知△abc的三边为a，b，c，有下列各组条件，判定△abc的形状．
解：（1）（2）均为直角三角形．
四、勾股定理及逆定理的综合应用：
b港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2小时后，甲船到m岛，乙船到p岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为bm=（n mile），乙船航行的距离为bp=（n mile）．，mbp为直角三角形，∴，乙船是沿着南偏东方向航行的．
1、无限不循环小数叫做无理数。(圆周率=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数).
像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.
2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数。无理数有三种类型：无限不循环小数、根式中被开方数是开不尽方的数、化简后和π有关的式子，π0除外。
任何有限小数或无限循环小数都是有理数。
确定的近似值的方法：无限逼近法。
2、一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
1)算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．
2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
例已知，求的值．
解：因为和都是非负数，并且，所以，，解得x=2，y= -4，所以．
意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题：
内容：1．已知，求x+y+z的值．
2．若x，y满足，求xy的值．
3．求中的x．
4．若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．
5．△abc的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．
解：1．因为≥0，≥0，≥0，且，所以=0， =0， =0，解得，，，所以x+y+z=．
2．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= ，当 x=时，y=5，所以 xy=×5=．
3．解：因为x-5≥0，≥0 ，所以 x=5 ．
4．解：因为，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．
5．解：由，可得，因为≥0，≥0，所以=0， =0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，即1 < c < 3．
3、一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．
表达式为：若x=a，那么x叫做a的平方根． 记作 ．
例如：(±4) =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．
4、平方根与算术平方根的联系与区别
联系 1．包含关系平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．
2．只有非负数才有平方根和算术平方根．
3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．
区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．
2．表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为．
1． ，的算术平方根是___的平方根是___
三）巩固练习。
八年级上册数学知识点
冀教版八年级数学上册第十二章 第十四章知识点汇总。注 表示重点部分 表示了解部分 表示仅供参阅部分 第十二章分式。注 1.对于任意一个分式，分母都不能为零。2.分式与整式不同的是 分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母。3.分式的值为零含两层意思 分母不等于零 分子等于零。中b 0时，分式有意义...
八年级上册数学知识点总集
八年级上册数学知识点总复习姓名。1.平方根 若有一个数，则把 r 叫作a的一个平方根 正数a的平方根有 1 个，记作 他们互为相反数 其中正平方根叫a的算数平方根 0的平方根和算数平方根都是 0 当 0 时，有意义，其中叫做被开方数 负数没有平方根。当 时，无意义 化简公式 a 2 立方根 若有一个...
八年级上册数学知识点总结
35逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。36勾股定理直角三角形两直角边a b的平方和 等于斜边c的平方，即a 2 b 2 c 2 37勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c有关系a 2 b 2 c 2 那么这个三角形是直角三角形。38定理四边形的...