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椭圆第二定义教学设计。
养正中学刘华湘。
背景分析：本节课是在学生学习完了椭圆定义及其标准方程、椭圆简单几何性质的基础上进行的；是对椭圆性质（离心率）在应用上的进一步认识；着重引出椭圆的第二定义、焦半径公式和准线方程，掌握椭圆定义的应用。教学中力求以教师为主导，以学生为主体，充分结合多**技术，以“形”为诱导，以椭圆的二个定义为载体，以培养学生的思维能力、**能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想。
教材的地位和作用：圆锥曲线是解析几何的重要内容，而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线；能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，从图形和第一定义来看椭圆与圆比较接近，从而对于学生来说学习完圆后再学习椭圆比较容易接受；而椭圆的第二定义即“到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹”，正好可以把椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线有机地统一起来，使学生对圆锥曲线有个整体知识体系，所以说这个定义在整章起到了一种“纽带”的作用。
学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化。
教学目标。知识目标：椭圆第二定义、准线方程；
能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；
2了解离心率的几何意义；
3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；
4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；
5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；
情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值。
教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
教学难点：椭圆的第二定义的运用；
教学方法：创设问题、启发引导、**活动、归纳总结。
教学过程。复习回顾。
1．椭圆的长轴长为 18 ，短轴长为 6 ，半焦距为，离心率为，焦点坐标为，顶点坐标为，（准线方程为）.
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于a、b两点，则的周长为 20 .
引入课题。习题4（教材p96）】椭圆的方程为，m1，m2为椭圆上的点。
1 求点m1（4，2.4）到焦点f（3，0）的距离 2.6 .
2 若点m2为（4，y0）不求出点m2的纵坐标，你能求出这点到焦点f（3，0）的距离吗？
解：且代入消去得。
推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点m横坐标的函数吗？
解：代入消去得。
问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
椭圆上的点m到右焦点的距离与它到定直线的距离的比等于离心率。
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
动点到定点的距离与它到定直线的距离的比等于常数的点的轨迹是椭圆．
引出课题】椭圆的第二定义。
当点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是．根据对称性，相应于焦点的准线方程是．对于椭圆的准线方程是．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为；左焦半径公式为。
典型例题。例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
解：由题意可知右焦点右准线；左焦点和左准线。
变式：求椭圆方程的准线方程；
解：椭圆可化为标准方程为：，故其准线方程为。
小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出。
例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为。
变式：求到右焦点的距离为。
解：记椭圆的左右焦点分别为到左右准线的距离分别为由椭圆的第二定义可知：
又由椭的第一定义可知：
另解：点m到左准线的距离是2.5，所以点m到右准线的距离为。
小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用。
例1、 点p与定点a（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点p的轨迹；
解法一：设为所求轨迹上的任一点，则由化简得，故所的轨迹是椭圆。
解法二：因为定点a（2，0）所以，定直线所以解得，又因为故所求的轨迹方程为。
变式：点p与定点a（2，0）的距离和它到定直线的距离的比是1：2，求点p的轨迹；
分析：这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目，那么能否用上面的两种方法来解呢？
解法一：设为所求轨迹上的任一点，则由化简得配方得，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）
解法二：因为定点a（2，0）所以，定直线所以解得，故所求的轨迹方程为。
问题1：求出椭圆方程和的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；
问题2：求出椭圆方程和长轴顶点、焦点、准线方程；
解：因为把椭圆向右平移一个单位即可以得到椭圆所以问题1中的所有问题均不变，均为。
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，
长轴顶点、焦点、准线方程分别为：，
反思：由于是标准方程，故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆，而题目中有三个条件，所以我们必须进行检验，又因为另一方面离心率就等于这是两上矛盾的结果，所以所求方程是错误的。又由解法一可知，所求得的椭圆不是标准方程。
小结：以后有涉及到“动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时”最好的方法是采用求轨迹方程的思路，但是这种方法计算量比较大；
解法二运算量比较小，但应注意到会不会是标准方程，即如果三个数据可以符合课本例4的关系的话，那么其方程就是标准方程，否则非标准方程，则只能用解法一的思维来解。
例4、设ab是过椭圆右焦点的弦，那么以ab为直径的圆必与椭圆的右准线（ ）
a.相切 b.相离c.相交d.相交或相切。
分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？
解：设ab的中点为m，则m即为圆心，直径是|ab|；记椭圆的右焦点为f，右准线为；
过点a、b、m分别作出准线的垂线，分别记为由梯形的中位线可知。
又由椭圆的第二定义可知即。
又且故直线与圆相离。
例5、已知点为椭圆的上任意一点，、分别为左右焦点；且求的最小值。
分析：应如何把表示出来。
解：左准线：，作于点d，记。
由第二定义可知：
故有。所以有当a、m、d三点共线时，|ma|+|md|有最小值：
即的最小值是。
变式1：的最小值；
解： 变式2：的最小值；
解： 课堂练习。
1．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是 ，则到左焦点的距离为。
2．若椭圆的离心率为 ，则它的长半轴长是。
答案：1． 2．1或2
归纳小结：1．椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；
2．椭圆定义的简单运用；
3．离心率的求法以及焦半径公式的应用；
课后作业。1.例题5的两个变式；
2. 已知 ， 为椭圆上的两点， 是椭圆的右焦点．若 ， 的中点到椭圆左准线的距离是 ，试确定椭圆的方程．
解：由椭圆方程可知 、两准线间距离为 ．设 ， 到右准线距离分别为 ， 由椭圆定义有 ，所以 ，则 ， 中点到右准线距离为 ，于是到左准线距离为 ， 所求椭圆方程为 ．
思考：1．方程表示什么曲线？
解： ；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）方程表示椭圆。
例ⅱ、（06四川高考15）如图把椭圆的长轴ab分成8等分，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，f是椭圆的一个焦点，则=
解法一：，设的横坐标为，则不妨设其焦点为左焦点。
由得。解法二：由题意可知和关于轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知，同理可知，，
故。板书设计：
附学生用。学法指导：
复习回顾。1．椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为焦点坐标为顶点坐标为。
2．短轴长为8，离心率为的椭圆两焦点分别为、，过点作直线交椭圆于a、b两点，则的周长为 .
习题4（教材p96）】椭圆的方程为，m1，m2为椭圆上的点。
3 求点m1（4，2.4）到焦点f（3，0）的距离。
4 若点m2为（4，y0）不求出点m2的纵坐标，你能求出这点到焦点f（3，0）的距离吗？
推广】你能否将椭圆上任一点到焦点的距离表示成点m横坐标的函数吗？
问题1：你能将所得函数关系叙述成命题吗？（用文字语言表述）
问题2：你能写出所得命题的逆命题吗？并判断真假？（逆命题中不能出现焦点与离心率）
引出定义】椭圆的第二定义。
当点m与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是时，这个点的轨迹是 ．定点是椭圆的 ，定直线叫做椭圆的 ，常数是椭圆的。
对于椭圆，相应于焦点的准线方程是根据对称性，相应于焦点的准线方程是 ；椭圆的准线方程是。
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
由椭圆的第二定义可得：
右焦半径公式为左焦半径公式为。
例1、求椭圆的右焦点和右准线；左焦点和左准线；
变式：求椭圆方程的准线方程；
例2、椭圆上的点到左准线的距离是，求到左焦点的距离为。
变式：求到右焦点的距离为。
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