第20章平行四边形的判定 2
20.1 平行四边形的判定 3
20.2 矩形的判定 8
阅读材料完美矩形 11
20.3 菱形的判定 12
20.4 正方形的判定 15
阅读材料折纸中的平行四边形 17
20.5 等腰梯形的判定 18
小结 20复习题 20
你见过这样的大门吗？它能伸缩自如，开启关闭十分方便．你可以看到门上含有不少几何图形，其中有你所熟悉的平行四边形，有些还是一些特殊的平行四边形．
你能说出它们的名称吗？你知道为什么它们是这样一些图形吗？
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就是一个中心对称图形，具有如下的一些性质：
1． 两组对边分别平行且相等；
2． 两组对角分别相等；
3． 两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法？
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
如图20．1．1，作一个两组对边分别相等的四边形．
把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
下面我们证明这个结论．
已知： 如图20．1．2，在四边形abcd中，ad＝bc， ab＝dc．
求证： 四边形abcd是平行四边形．
分析要证明四边形abcd是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证ab∥dc， ad∥bc，因此需要连结对角线构造内错角．
证明连结ac， ad＝bc， ab＝dc， ac＝ac， △abc≌△cda（s．s．s.），1＝∠2， ∠3＝∠4（全等三角形的性质）， ab∥cd， ad∥bc（内错角相等，两直线平行）， 四边形abcd是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图20．1．3，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．
我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．
已知： 如图20．1．4，在四边形abcd中，ab∥cd且ab＝cd．
求证： 四边形abcd是平行四边形．
分析要证明四边形abcd是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．
证明连结对角线ac， ab∥cd， ∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵ ab＝cd， ac＝ac， △abc≌△cda（s．a．s.），bc＝ad（全等三角形的性质）， 四边形abcd是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
“平行且相等”常用符号“ ”来表示．如图20．1．4，ab＝cd且ab∥cd，可以记作“ab cd”，读作“ab平行且等于cd”．
例1如图20．1．5，在 abcd中，e、f分别是对边bc和ad上的两点，且af＝ce，求证： 四边形aecf为平行四边形．
分析我们已经有了三种判定平行四边形的方法，根据已知条件有af＝ce，若运用现在得到的判定方法，只须证明af∥ce．
证明 ∵ 四边形abcd是平行四边形， ad∥bc（平行四边形的对边平行），即af∥ce．
又∵ af＝ce， 四边形aecf为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
思考。可以用其他方法证明吗？哪种方法较为简捷？
练习。1． 在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
2． 如图，在平行四边形abcd中，已知m和n分别是ab和dc上的中点，试证明四边形bndm也是平行四边形．
由平行四边形的性质，得到又一个猜想：“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。”
取两条长度不等的绳子，让两条绳子的中点重合并固定在桌面上，分别拉紧绳子的端点，并用笔和直尺画出绳子四个端点的连线．观察这样得到的图形是什么图形．
如图20．1．6，你还可以作一个两条对角线互相平分的四边形．
和你的同伴交流一下，看看是否是平行四边形．根据上面的操作，我们可以表述成下面的形式，试着用逻辑推理的方法加以说明．
已知： 如图20．1．7，在四边形abcd中，对角线ac和bd相交于点o，ao＝co， bo＝do．
求证： 四边形abcd是平行四边形．
分析要证明四边形abcd是平行四边形，可以用定义，也可以用平行四边形的两条判定方法，请你选择一种方法完成证明．
于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
思考。我们已经知道，通过四边形的边或者对角线的某些关系，可以判定一个四边形是不是平行四边形，那么，通过角的关系，能不能判定一个四边形是不是平行四边形呢？
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对角分别相等”，我们自然想到，如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形可能是一个平行四边形．
已知： 如图20．1．8，四边形abcd中，已知∠a＝∠c， ∠b＝∠d．
求证： 四边形abcd是平行四边形．
证明在四边形abcd中，∠a＋∠b＋∠c＋∠d＝360°（四边形的内角和等于360°），又∵∠a＝∠c， ∠b＝∠d， ∠a＋∠b＝∠a＋∠d＝180°， ad∥bc， ab∥cd（同旁内角互补，两直线平行）， 四边形abcd是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
于是我们又得到平行四边形的一种判定方法：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
例2如图20．1．9，在 abcd中，点e、f是对角线ac上的两点，且ae＝cf，求证： 四边形bfde是平行四边形．
分析连结bd，交ac于点o，由于ob＝od，因此用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明四边形bfde是平行四边形最为恰当，根据题意只需证明oe＝of．
证明连结bd，交ac于点o．
四边形abcd是平行四边形， ob＝od， oa＝oc（平行四边形的对角线互相平分）．
ae＝fc， oe＝of， 四边形bfde是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
思考。现在我们总共学会了多少种判定平行四边形的方法（包括定义）了？这些判定方法与平行四边形的性质之间，又有什么样的关系呢？
练习。1． 如图，在平行四边形abcd中，已知两条对角线相交于点o， e、f、g、h分别是ao、bo、co、do的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形．
2． 如图，在平行四边形abcd中，已知ae、cf分别是∠dab、 ∠bcd的角平分线，试证明四边形afce是平行四边形．
例3如图20．1．10， abcd中，af＝ch， de＝bg，求证： eg和hf互相平分．
分析因为eg和hf是四边形efgh的对角线，所以要证明eg和hf互相平分，可以转化成证明四边形efgh是平行四边形．
证明 ∵ 四边形abcd是平行四边形， ad＝bc， ∠a＝∠c（平行四边形的对边相等，对角相等）．
de＝bg，而ae＝ad－ed， cg＝cb－gb， ae＝cg．
af＝ch， △aef≌△cgh（s．a．s.），ef＝gh．
同理fg＝he， 四边形efgh是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， eg和hf互相平分（平行四边形的对角线互相平分）．
例4已知： 如图 20．1．11，线段bc和线段bc外一点a．
求作： 以a为一顶点，以线段bc为一边的平行四边形．
分析如果连结ab，那么平行四边形的两边已经确定，根据平行四边形的对边相等就可以确定另一个顶点．
作法1． 连结ab；
2． 分别以a、c为圆心，以bc、ab为半径作弧，两弧相交于点d；
3． 连结ad、cd．
那么四边形abcd就是所求的平行四边形．
如果连结ac，同理可作四边形aebc，它也是所求的平行四边形，也就是说此题有两解．
练习。1． 延长△abc的中线ad至e，使得de＝ad，那么四边形abec是平行四边形吗？为什么？
2． 作 abcd，使∠b＝45°，ab＝2cm，bc＝3cm．
习题20．1
1． 用两个全等的三角形，按照不同的方法拼成四边形，可以拼成几个不同的四边形？它们都是平行四边形吗？为什么？
2． 四边形abcd中，∠a和∠b互补，∠a＝∠c，求证四边形abcd是平行四边形．
3． 如图，a、b、e在一直线上，ab＝dc， ∠c＝∠cbe，试证明ad=bc.
4． 尽可能多地用各种不同的方法画出平行四边形．
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1． 两条对角线相等且互相平分；
2． 四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
思考。矩形的性质“两条对角线相等且互相平分”中，“对角线互相平分”是平行四边形所具有的一般性质，而“对角线相等”是矩形所特有的性质．
由此，可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形．”
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