第十七章实数。
回顾与反思。
教学目标〗－）知识目标。
1用对比的方法复习概念。
2.熟练实数的运算。
二）能力目标。
1．引导学生梳理和归纳本章内容，把本章的学习内容纳入学生自己的知识体系。
2.通过典型问题的分析，对重点知识有进一步的认识。
三）情感目标。
通过介绍我国古代数学家刘徽及祖冲之关于圆周率π的研究成果，对学生进行爱国主义教育。
教学重点〗1． 无理数、实数概念的理解。
2． 实数的运算。
教学难点〗无理数的概念的理解。
教学过程〗一、课前布置。
1.阅读p121~p122回顾与反思，自己尝试着归纳本章的内容。 整理出本章的难点、重点，找出自己的疑点，盲点，出错点。
2.查阅“圆周率π”有关资料。
圆周率π趣闻。
在日常生活中，人们经常与π打交道。自行车、汽车的轮胎是圆的，茶杯口是圆的，天上的月亮看起来也是圆的，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数就是π。
当代数学大师、著名的美籍华裔数学家陈省身教授感慨道：“π这个数渗透了整个数学！”有的数学家甚至说：
“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一面旗帜。”
中华民族历史上对圆周率π的研究，有着卓越的成就，曾一度领先于世。
根据历史学家的考证，早在夏代以前原始部落时期，我国就有圆形的建筑物和器皿。在中国最早的算书《周髀算经》(公元前2世纪)里，已经指出了“圆径一而周三”(即π=3)。西汉末年、王莽命刘歆(公元前50-23年)制定度量的新标准，根据推算，他所用的圆周率有3.
1547，3.1992，3.1498，3.
2031等几个值，而没有统一的标准，但已经比径一周三更进一步了。东汉张衡(公元78-139年)认为π==3.1623，比印度、阿拉伯数学家算出同样结果约早500年。
三国魏景元四年(公元263年)，数学家刘徽在整理《九章算术》一书时，提出了“割圆术”。他从圆内接六边形算边，令边数一倍一倍地增加，逐个算出六边形、十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形、一百九十二边形周长与直径的比值，得到了π的近似值为3.14。
他还特别声明：“此率尚微少”，意思是这只是π的不足近似值。
刘徽对π的推算，是对人类的一大贡献。后人为了纪念他，就把π=3.14这个数值叫做“徽率”。
到了南北朝，伟大的数学家祖冲之(公元426-500年)对π的推算，达到了空前的高峰，他算出3.1415926＜π＜3.1415927。
在世界上，计算圆周率精确到小数点后七位的，祖冲之是第一人，后人称之为“祖率”。
“祖率”这个纪录保持了近一千年，后才被16世纪的阿尔卡西(al——kashi)打破。祖冲之还同时得出了π的分数形式的近似值：约率是，密度是。
这两个分数，是分母小于7和113的一切分数中，最接近π值的最佳分数，德国人奥托(valentius otto)在2023年才获得这个值。
在现在，利用计算机已经把π的值算到了小数点后几十万位了。
π是一个什么样的数呢？
π是一个无限不循环的小数。也就是说，π是一个无理数。
法国数学家勒让德(legendre，1752-1833)曾猜测说：“π不是有理系数方程的根”。后来，人们把有理系数方程的根称为代数数，不是代数数的叫做超越数。
这样，所有的有理数和一部分无理数是代数数。勒让德的猜测实际上说π是一个超越数。
在高等数学里，抽象地证明超越数的存在性，并不十分困难。但具体地证明某一个特定的数，例如π和e是超越数，在历史上是一件十分困难的事情。
e=2.718…，也是一个无理数，常用来作为对数的底数，这种对数称为自然对数。2023年，法国数学家埃尔米特(hermite，1822-1901)给出了e是超越数的证明，但他认为证明π的超越性更为困难。
他在给友人的信中写道：“我不敢试着证明π的超越性。如果其他人承担这项工作，对于他们的成功没有比我更高兴的人了。
但请相信我，我亲爱的朋友，这决不会不使他们花去一些力气。”2023年，英国数学家林德曼(证明了π是超越的，从而解决了一些几何作图问题。
关于π，有许多形式美观、俊俏的公式，例如。
特别值得一提的是，当代著名的数论专家atle selberg(1917-)曾经说，他喜欢数学的一个动机，是以下公式：
=1-+－大家看，这个公式多美呀！
π=3.1415926…又是一个神秘的数字。
有人发现，π的前1位小数、前3位小数、前7位小数和分别是前1个自然数、前3个自然数、前7个自然数之和。
这真是惊人的巧合！
π的前6个有效数字314159是一个素数，也是一个逆素数(倒过来读951413也是一个素数)。314159的补数是796951(互为补数是指两个数的对应数位上的数字之和等于10)，它也是一个素数！
有趣的是，把前6个有效数字分成三个两位数，这三个数都是孪生素数中的一个(孪生素数是指相差为2的两个素数)：29与31，41与43，59与61是三对孪生素数。
深入研究，还会发现一些奇特的现象。例如，π的小数点后从13位数字开始，连续的十八个数字具有相当的对称性：其中79，32，38是关于26对称的。
79，32，38这三个数的所有数字之和7+9+3+2+3+8=32.32是一个很特殊的数，一系列现象可以与它联系起来：水在华氏32°结冰，水晶体分32类，人的牙齿有32颗，32个电子可充满原子的第四级轨道，基本粒子有32种长命粒子，……
这又是惊人的巧合！
更有趣的是，π的小数点后一百个数字：
有人把它谱成了曲子，演奏起来还蛮悠扬动听呢！
二、教学过程。
典型例题（鼓励学生讲解教师提供的例题。例题的设置是分层的，安排不同基础的学生尝试讲解，教师予以补充）
一)无理数、实数概念的理解（概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数）
1．下列各数、、、其中无理数的个数是。
a. 1b. 2 c. 3 d. 4
2．一个长方形的长与宽分别时，它的对角线的长可能是。
a. 整数 b. 分数 c. 有理数 d. 无理数。
3.下列说法中不正确的是 (
a. 的立方是，的平方是。
b. 两个有理之间必定存在着无数个无理数。
c.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有。
d. 如果，则一定不是有理数。
4. 下列语句中正确的是 （
a. 任意算术平方根是正数b. 只有正数才有算术平方根
c. 因为3的平方是9，所以9的平方根是3 d. 是1的平方根。
5. 的绝对值等于（ ）
a． b． c． d．
解： 1.ｄ 2.ｄ 3. c
二)实数的运算。
1.设，，用含的式子表示，则下列表示正确的是（ ）
2.有一个数值转换器，原来如下：当输入的x为64时，输出的y是（ ）
a.8 b. c. d.
3．(06枣庄)下列计算正确的是( )
ab.cd.
4. 可以借助计算器**下列几道题的计算结果，，…
则。5.如图面积为30cm2的正方形的四个角是面积为2cm2的小正方形，现将四个角剪掉以后，制作成一个无盖的长方体，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm）
解：1.ａ 2. b 3. a
5. 解：因为小正方形的面积是2cm2，所以小正方形的边长为cm,所以长方体的底面边长为（）≈2.6 cm，高为≈1.4 cm.
三、补充练习。
作业：p123～125习题。
第十七章实数整章水平测试。
一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数、、、其中无理数的个数是。
a. 1b. 2 c. 3 d. 4
2．一个长方形的长与宽分别时，它的对角线的长可能是。
a. 整数 b. 分数 c. 有理数 d. 无理数。
3. 下列运算中，不是总能进行的是。
a．平方 b．立方 c．开平方 d．开立方。
4.下列说法中不正确的是 (
a. 的立方是，的平方是。
b. 两个有理之间必定存在着无数个无理数。
c.在1和2之间的有理数有无数个，但无理数却没有。
d. 如果，则一定不是有理数。
5. 已知一个正方形的边长为，面积为，则。
八年级数学实数
第二章实数单元测试。班级姓名学号。一 选择题 每小题3分，共30分 1 在实数，0,0.12345678910 中，其中无理数的个数是 a.2b.3c.4d.5 2 下列根式中 是最简二次根式的有 a 2个 b 3个 c 4个 d 5个。3 a，b的位置如图所示，则下列各式一定有意义的是 abcd....
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