第24讲圆的有关性质[锁定目标考试]考标要求考查角度。
理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．
了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论。
中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主。
导学必备知识]知识梳理。
一、圆的有关概念及其对称性．圆的定义。
圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做___定长叫做___平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．．圆的有关概念。
连接圆上任意两点的___叫做弦；
圆上任意两点间的___叫做圆弧，简称弧；__相等的两个圆是等圆；
在同圆或等圆中，能够互相___的弧叫做等弧．．圆的对称性。
圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；
圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论．垂径定理。
垂直于弦的直径___这条弦，并且___弦所对的两条弧．．推论1
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过___并且平分弦所对的___弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．．推论2
圆的两条平行弦所夹的弧___
过圆心；平分弦；垂直于弦；平分弦所对的优弧；平。
分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．
三、圆心角、弧、弦之间的关系．定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧___所对的弦推论。
同圆或等圆中：两个圆心角相等；两条弧相等；两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角．定义。
顶点在___上的角叫做圆心角；顶点在___上，角的两边和圆都___的角叫做圆周角．．性质。
圆心角的度数等于它所对的___的度数．
一条弧所对的圆周角的度数等于它所对___的度数的一半．
同弧或等弧所对的圆周角___同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧___
半圆所对的圆周角是___90°的圆周角所对的弦是___
五、圆内接四边形的性质。
圆内接四边形的对角互补．自主测试。
如图，已知oa，ob是⊙o的两条半径，且oa⊥ob，点c在⊙o上，则∠acb的度数为a．45°b．35°c．25°d．20°
如图，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为，下列结论不成立的是。
a．c＝db．c．∠acd＝∠adcd．o＝d
如图，△abc是⊙o的内接三角形，ac是⊙o的直径，∠c＝50°，∠abc的平分线bd交⊙o于点d，则∠bad的度数是。
a．45°b．85°c．90°d．95°
工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8，如图所示，则这个小圆孔的宽口ab的长度为如图，ab是⊙o的弦，oc⊥ab于c．若ab＝23，oc＝1，则半径ob的长为。
如图，点a，b，c在⊙o上，∠aoc＝60°，则∠abc的度数是**重难方法]
考点。一、垂径定理及推论。
例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面。
宽ab为6分米，如果再注入一些油后，油面ab上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径n为a．6分米b．8分米c．10分米d．12分米。
分析：如图，油面ab上升1分米得到油面cd，依题意得ab=6，cd=8，过o点作ab的垂线，垂足为e，交cd于f点，连接oa，oc，由垂径定理，得ae=12ab=3，cf=12cd=4，设oe=x，则of=x-1，在rt△oae中，oa2=ae2+oe2，在rt△ocf中，oc2=cf2+of2，由oa=oc，列方程求x即可求得半径oa，得出直径n.
解析：如图，依题意得ab＝6，cd＝8，过o点作ab的垂线，垂足为e，交cd于f点，连接oa，oc，由垂径定理，得ae＝12ab＝3，cf＝12cd＝4，设oe＝x，则of＝x－1，在rt△oae中，oa2＝ae2＋oe2，在rt△ocf中，oc2＝cf2＋of2，∵oa＝oc，∴32＋x2＝42＋2，解得x＝4.∴半径oa＝32＋42＝5.
∴直径n＝2oa＝10．故选c．答案：c
方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．
触类旁通1如图所示，若⊙o的半径为13c，点p是弦ab上一动点，且到圆心的最短距离为5c，则弦ab的长为。c.考点。
二、圆心角、弧、弦之间的关系。
例2】如图，已知a，b，c，d是⊙o上的四个点，ab＝bc，bd交ac于点e，连接cd，ad．求证：db平分∠adc；
若be＝3，ed＝6，求ab的长．解：证明：∵ab＝bc，＝.adb＝∠bdc，∴db平分∠adc．由知＝，∴bae＝∠adb．
∠abe＝∠abd，∴△abe∽△dba．∴abbe＝bdab.∵be＝3，ed＝6，∴bd＝9.
ab2＝bebd＝3×9＝27.∴ab＝33.
方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．
触类旁通2如图，ab是⊙o的直径，c，d两点在⊙o上，若∠c=40°，则∠abd的度数为a．40°b．50°c．80°d．90°考点。
三、圆周角定理及推论。
例3】如图，若ab是⊙o的直径，cd是⊙o的弦，∠abd＝58°，则∠bcd＝
a．116°b．32°c．58°d．64°
解析：根据圆周角定理求得，∠aod＝2∠abd＝116°，∠bod＝2∠bcd；根据平角是180°知∠bod＝180°－∠aod．还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠adb＝90°，则∠dab＝90°－∠abd＝32°，∵dab＝∠dcb，∴∠dcb＝32°.答案：
b方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．
触类旁通3如图，点a，b，c，d都在⊙o上，的度数等于84°，ca是∠ocd的平分线，则∠abd＋∠cao品鉴经典考题]
如图，在⊙o中，弦ab∥cd，若∠abc＝40°，则∠bod＝
a．20°b．40°c．50°d．80°
如图，点a，b，c在圆o上，∠a＝60°，则∠boc
如图，⊙o的直径cd垂直于ab，∠aoc＝48°，则∠bdc
如图，点a，p，b，c是半径为8的⊙o上的四点，且满足∠bac＝∠apc＝60°.
求证：△abc是等边三角形；
求圆心o到bc的距离od．
如图，已知ab是⊙o的弦，ob＝4，∠obc＝30°，点c是弦ab上任意一点，连接co并延长co交⊙o于点d，连接ad，db．
当∠adc＝18°时，求∠dob的度数；若ac＝23，求证：△acd∽△ocb．[研***试题]
如图，ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为e，如果ab=10，cd=8，那么线段oe的长为a．5b．4c．3d．2
如图，直径为10的⊙a经过点c和点o，b是y轴右侧⊙a优弧上一点，则∠obc的余弦值为a．12b．34c．32d．45
一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径ob=10，截面圆圆心o到水面的距离oc是6，则水面宽ab是a．16
b．10c．8d．6
如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子oa，ob在o点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把o点靠在圆周上，读得刻度oe＝8个单位，of＝6个单位，则圆的直径为。
a．12个单位b．10个单位c．4个单位d．15个单位。
如图，已知在圆内接四边形abcd中，∠b＝30°，则∠d
如图，过a，c，d三点的圆的圆心为e，过b，f，e三点的圆的圆心为d，如果∠a＝63°，那么∠dbe
如图，△abc是⊙o的内接三角形，ad⊥bc于d点，且ac＝5，dc＝3，ab＝42，则⊙o的直径等于___如图，在圆内接四边形abcd中，cd为∠bca外角的平分线，f为弧ad上一点，bc=af，延长df与ba的延长线交于点e.求证：
abd为等腰三角形；acaf=dffe.参***【知识梳理】一、1.圆心半径。
线段部分半径重合二、1.平分平分．不是直径圆心两条．相等。
三、1.相等相等四、1.圆心圆相交。
弧圆心角相等相等直角直径。
导学必备知识自主测试。
a∵oa⊥ob，∴∠aob＝90°，∴acb＝45°.故选a.
d∵ab是⊙o的直径，弦cd⊥ab，垂足为，∴为cd的中点，即c＝d，选项a成立；b为的中点，即cb＝db，选项b成立；在△ac和△ad中，a＝a，∠ac＝∠ad＝90°，c＝d，∴△ac≌△ad，∠acd＝∠adc，选项c成立；而o与d不一定相等，选项d不成立．故选d.
b∵ac是⊙o的直径，∴∠abc＝90°.∵abc的平分线bd交⊙o于点d，∴∠abd＝45°.∵c＝50°，∴d＝50°，∴bad的度数是180°－45°－50°＝85°.
8如图所示，在⊙o中，连接oa，过点o作od⊥ab于点d，则ab＝2ad.∵钢珠的直径是10，∴钢珠的半径是5.
钢珠顶端离零件表面的距离为8，od＝3.在rt△aod中，ad＝oa2－od2＝52－32＝4．∴ab＝2ad＝2×4＝8．故答案为8.
2∵ab是⊙o的弦，oc⊥ab于c，ab＝23，∴bc＝12ab＝3.∵oc＝1，∴在rt△obc中，ob＝oc2＋bc2＝12＋2＝2.故答案为2.
150因为∠aoc＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠abc所对的弧度为300°.因为∠abc是圆周角，所以∠abc＝150°.**考点方法。
触类旁通1.24连接oa，当op⊥ab时，op最短，此时op＝5c，且ab＝2ap.在rt△aop中，ap＝oa2－op2＝132－52＝12，所以ab＝24c.
触类旁通由题意，得∠a＝∠c＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠adb＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠a＋∠abd＝90°，从而得∠abd＝50°.
触类旁通3.48°因为的度数等于84°，所以∠cod＝84°.因为oc＝od，所以∠ocd＝48°.因为ca是∠ocd的平。
分线，所以∠acd＝∠aco＝24°，因为oa＝oc，所以∠oac＝∠aco＝24°，因为∠abd＝∠acd＝24°，所以∠abd＋∠cao＝48°.品鉴经典考题。
d∵ab∥cd，∴∠c＝∠abc＝40°.∴bod＝2∠c＝2×40°＝80°.
120°∠boc＝2∠a＝2×60°＝120°.
24°连接ob，∵cd⊥ab，∴∠boc＝∠aoc＝48°∴∠bdc＝12∠boc＝12×48°＝24°.
证明：∵∠abc＝∠apc，∠bac＝∠apc＝60°，∴abc＝∠bac＝60°.∴abc是等边三角形．
解：如图，连接ob，则ob＝8，∠obd＝30°.又∵od⊥bc于点d，∴od＝12ob＝4.
解：连接oa.∵∠adc=18°，∴aoc=2∠adc=36°.
∵oa=ob，∠oac=∠obc=30°.∴ocb=∠oac+∠aoc=66°.∴dob=∠ocb+∠obc=96°.
证明：过点o作oe⊥ab于点e.
在rt△obe中，ob＝4，∠obc＝30°，∴be＝obcos30°＝4×32＝23.∵oe⊥ab，∴ab＝2be＝43.∵ac＝23，∴c，e重合．∴∠acd＝∠ocb＝90°，aoc＝∠cob＝90°－∠obc＝60°.
∴adc＝12∠aoc＝30°.∴adc＝∠obc.∴△acd∽△ocb.
研***试题．
52连接ao并延长交圆于点e，连接be.∵ae为⊙o的直径，∴∠abe=90°.∴abe=∠adc.又∵∠aeb=∠acd，∴△abe∽△adc.
abad=aeac.∵在rt△adc中，ac=5，dc=3，∴ad=4.∴ae=52.
证明：由圆的性质知∠cd＝∠dab，∠dca＝∠dba，而∠cd＝∠dca，∠dba＝∠dab，故△abd为等腰三角形．
∠dba＝∠dab，∴＝
又∵bc＝af，∴＝cdb＝∠fda，∴＝cd＝df.
由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，∠afe＝∠dba＝∠dca，①∠fae＝∠bde.
∠cda＝∠cdb＋∠bda＝∠fda＋∠bda＝∠bde＝∠fae，②
由①②得△cda∽△fae.∴acfe＝cdaf，∴acaf＝cdfe.
而cd＝df，∴acaf＝dffe.
九年级数学上册《圆的有关性质》教学设计
课题 圆的有关性质。教学目标 1 通过观察实验操作，感受圆的定义，结合图形认。识弧，半圆，弦，直径，等圆，等弧，优弧，劣。弧等有关概念 2 在具体情景中，通过 交流 反思等活动获。得圆的有关定义，体验探求规律的思想方法。学情分析 圆是继三角形 四边形等基本图形后的又一个重要内容，圆的有关概念为今后学...
圆的有关性质九年级数学上册同步练习
24.1 圆的有关性质。一 选择题 共20小题 1 2018安顺 已知 o的直径cd 10cm，ab是 o的弦，ab cd，垂足为m，且ab 8cm，则ac的长为 a 2cm b 4cm c 2cm或4cm d 2cm或4cm 2 2018张家界 如图，ab是 o的直径，弦cd ab于点e，oc 5...
初中数学九年级上册圆的有关性质同步练习
题型 选择题。试题 1.如图，点a，b，c均在 o上，若 a 66 则 ocb的度数是 选项 a.24 b.28 c.33 d.48 答案 a 分值 3难度 2 答案说明 解析 a 66 cob 132 co bo，ocb obc 180 132 24 知识点 圆周角定理及其推论 119853 题型...