初三年级数学期末考试（抽考）复习资料（版权所有）
供稿人：余麒麟。
二次函数部分：
一、 考试说明的要求：
二、 复习目标。
1、 认识二次函数是常见的简单函数之一，也是刻画现实世界变量之间关系的重要数学模型。理解二次函数的概念，掌握其函数关系式以及自变量的取值范围。
2、 能正确地描述二次函数的图象，能根据图象或函数关系式说出二次函数图象的特征及函数的性质，并能运用这些性质解决问题。
3、 能根据问题中的条件确定二次函数的关系式，并运用二次函数及其性质解决简单的实际问题。
4、 了解二次函数与一元二次方程的关系，能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
三、知识点回顾。
1、二次函数的概念：形如的函数。
2、抛物线的顶点坐标是（）；对称轴是直线。
3、当a＞0时抛物线的开口向上；当a＜0时抛物线的开口向下。越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大。相同的抛物线，通过平移（或旋转、轴对称）一定能够重合。
4、a、b同号时抛物线的对称轴在y轴的左侧；a、b异号时抛物线的对称轴在y轴的右侧。抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）.
5、二次函数解析式的三种形式：
1）一般式：
2）顶点式：
3）交点式：，抛物线与x轴的交点坐标是（）和（）.
6、抛物线的平移规律：从到，抓住顶点从（0，0）到（h，k）.
7、（1）当＞0时，一元二次方程有两个实数根，抛物线与x轴的交点坐标是a（）和b（）。
2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根（或说一个根），抛物线的顶点在x轴上，其坐标是（）.
3）当＜0时，一元二次方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点。
8、二次函数的最值问题和增减性：
四、例题精析。
例1：函数、、的图象的共同特征是（ ）
a）开口都向上，且都关于y轴对称 （b）开口都向下，且都关于x轴对称。
c）顶点都是原点，且都关于y轴对称 （d）顶点都是原点，且都关于x轴对称。
分析：c.回顾】研究二次函数的图象与性质，一般从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、与坐标轴的交点、最值等来观察和**。注意其中的规律。
例2：已知二次函数。（1）用配方法化为的形式。
（2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象。（3）根据图像指出：①当取何值时，随值的增大而减小。
②当取何值时，有最大（小）值，值是多少？③抛物线与、两坐标轴的交点坐标。 ④当取何值时。
分析：＝＝解略。
例3：已知△中，，上的高，为。
上一点，，交于点，交于点（不过、，设到的距离为，则△的面积关于的函数的图象大致为（ ）
分析：d经典题型：（下面的题比较难，请同学们放松心情，平常心对待！）
1、二次函数的图象如图，则点m（，）在（ ）
a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限d、第四象限。
2,。在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ）
3.二次函数和反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）
4.二次函数的图象如图所示，则直线的图象不经过（ ）
．第一象限第二象限第三象限第四象限。
5、（10分）已知抛物线与轴交于a、b两点，且点a在轴的负半轴上，点b在轴的正半轴上。
1）求实数的取值范围；
2）设oa、ob的长分别为、，且∶＝1∶5，求抛物线的解析式；
3）在（2）的条件下，以ab为直径的⊙d与轴的正半轴交于p点，过p点作⊙d的切线交轴于e点，求点e的坐标。
解：5、（1）设点a（，0），b（，0）且满足＜0＜
由题意可知，即3分）
2）∵∶1∶5，设，即。
则，即4分）
即。即，解得，（舍去）…（6分）
抛物线的解析式为7分）
3）由（2）可知，当时，可得，
即a（－1，0），b（5，08分）
ab＝6，则点d的坐标为（2，0）
当pe是⊙d的切线时，pe⊥pd
由rt△dpo∽rt△dep可得。
即，故点e的坐标为（，010分）
27.已知：是方程的两个实数根，且，抛物线的图像经过点a()、b().
1) 求这个抛物线的解析式；
2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为c,抛物线的顶点为d，试求出点c、d的坐标和△bcd的面积；（注：抛物线的顶点坐标为（）
3) p是线段oc上的一点，过点p作ph⊥轴，与抛物线交于h点，若直线bc把△pch分成面积之比为2：3的两部分，请求出p点的坐标。
27.（1）解方程得。
由，有。所以点a、b的坐标分别为a（1，0）,b（0，5）.
将a（1，0）,b（0，5）的坐标分别代入。
得解这个方程组，得。
所以，抛物线的解析式为。
2）由，令，得。
解这个方程，得。
所以c点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点d（-2，9）.
过d作轴的垂线交轴于m.则。
所以，.3）设p点的坐标为（）
因为线段bc过b、c两点，所以bc所在的值线方程为。
那么，ph与直线bc的交点坐标为，ph与抛物线的交点坐标为。
由题意，得①，即。
解这个方程，得或（舍去），即。
解这个方程，得或（舍去）
p点的坐标为或。
28．（10分）已知，在rt△oab中，∠oab＝900，∠boa＝300，ab＝2。若以o为坐标原点，oa所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点b在第一象限内。将rt△oab沿ob折叠后，点a落在第一象限内的点c处。
1）求点c的坐标；
2）若抛物线（≠0）经过c、a两点，求此抛物线的解析式；
3）若抛物线的对称轴与ob交于点d，点p为线段db上一点，过p作轴的平行线，交抛物线于点m。问：是否存在这样的点p，使得四边形cdpm为等腰梯形？
若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由。
注：抛物线（≠0）的顶点坐标为，对称轴公式为。
28．（1）过点c作ch⊥轴，垂足为h
∵在rt△oab中，∠oab＝900，∠boa＝300，ab＝2
∴ob＝4，oa＝
由折叠知，∠cob＝300，oc＝oa＝
coh＝600，oh＝，ch＝3
∴c点坐标为（，3）
2）∵抛物线（≠0）经过c（，3）、a（，0）两点。
解得： 此抛物线的解析式为：
3）存在。因为的顶点坐标为（，3）即为点c
mp⊥轴，设垂足为n，pn＝，因为∠boa＝300，所以on＝
p（，）作pq⊥cd，垂足为q，me⊥cd，垂足为e
把代入得：
m（，）e（，）
同理：q（，）d（，1）
要使四边形cdpm为等腰梯形，只需ce＝qd
即，解得：，（舍）
p点坐标为（，）
存在满足条件的点p，使得四边形cdpm为等腰梯形，此时p点的坐为（，）
28、（10分）已知：如图，抛物线与y轴交于点c（0，4），与x轴交于点a、b，点a的坐标为（4，0）。
1）求该抛物线的解析式；
2）点q是线段ab上的动点，过点q作qe∥ac，交bc于点e，连接cq。当△cqe的面积最大时，求点q的坐标；
3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点p，与直线ac交于点f，点d的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线，使得△odf是等腰三角形？
若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。
应用题）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为元时，月销售量为吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行**．经市场调查发现：当每吨售价每下降元时，月销售量就会增加吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用元．设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为（元）．
1）当每吨售价是元时，计算此时的月销售量；
2）求出与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；
3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
答案：解：（1）（吨）．
（2），化简得：．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，为210元，而对于月销售额来说，当为160元时，月销售额最大．
当为210元时，月销售额不是最大．
小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，为210元，此时，月销售额为17325元；而当为200元时，月销售额为18000元．，当月利润最大时，月销售额不是最大．
小静说的不对．
说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）
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