第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初一第2试。
姓名得分＿＿＿
一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1. 有理数a，b满足20a11| b |=0 (b0)，则是（ ）
a) 正数 (b) 负数 (c) 非正数 (d) 非负数 。
2. 如图1，直线mn//直线pq，射线oa射线ob，boq=30。若以点o为旋转中心，将射线oa顺时针旋转60后，这时图中30的角的个数是（ ）
a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 1 。
3. 有理数a，b在数轴上对应的位置如图2所示，那么代数式的值是（ ）
a) 1 (b) 0 (c) 1 (d) 2 。
4. 如图3，abcd，aefg，bihe都是平行四边形，且e是dc的中点，点d在fg上，点c在hi上。△gda，△dfe，△ehc，△bci的面积依次记为s1，s2，s3，s4，则（ ）
a) s1s2>s3s4b) s1s2(c) s1s2=s3s4d) s1s2与s3s4大小关系不确定 。
5. if x is a prime number, y is an integer, and, then =（
a) 8 (b) 16 (c) 32 (d) 64
(英汉小辞典：prime number 质数，integer：整数)
6. 如图4，ab//cd//ef//gh，ae//dg，点c在ae上，点f在dg上。设与相等的角的个数为m，与互补的角的个数为n，若，则mn的值是 （
a) 8b) 9c) 10d) 11 。
7. 甲用1000元购买了一些**，随即他将这些**转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些**反卖给甲，但乙损失了10%。最后甲按乙卖给甲的**的九折将这些**卖给了乙，若上述**交易中的其它费用忽略不计，则甲（ ）
a) 盈亏平衡 (b) 盈利1元 (c) 盈利9元 (d) 亏损1.1元 。
8. 梯形的上底长5，下底长10，两腰分别长3和4，那么梯形的。
面积是（ ）a) 18 (b) 22.5 (c) 26.25 (d) 30 。
9. 已知且，则的值是（ ）
(a) 432b) 576c) 432 (d) 576。
10. 如图5，bp是△abc中abc的平分线，cp是acb的外角的平分线，如果abp=20，acp=50，则ap=（
(a) 70 (b) 80c) 90d) 100 。
二、填空题 (每小题4分，共40分)
11. 若y2=2xa，则4x24ax4xy22ay2y4a21= 。
12. 如图6，有两个长度相同的滑梯bc和ef，滑梯bc的高度 ac等于滑梯ef在水平方向上的长度df，则abcdfe = 度。
13. 能被7整除的各个数码均不相同的最小的十位数是 。
14. 如图7，，，都是由9个边长为1厘米的正方形组成的33平方厘米的正方形，其中的阴影四边形的面积分别记为s1，s2，s3和s4。则s1，s2，s3和s4中最小的与最大的和是平方厘米。
15. 已知x= 1时，3ax52bx3cx22=10，其中a：b：c=2：3：6，那么= 。
16. 将长与宽分别为6与4的长方形纸片剪去3个等腰直角三角形后，剩余部分的面积最小是= 。
17. 有甲、乙两辆小汽车模型，在一个环形轨道上匀速行驶，甲的速度大于乙。如果它们从同一点同时出发沿相反方向行驶，那么每隔1分钟相遇一次。
现在，它们从同一点同时出发，沿相同方向行驶，当甲第一次追上乙时，乙已经行驶了4圈，此时它们行驶了分钟。
18. 如图8，长方形abcd的长为8，宽为5，e是ab的中点，点f在bc上，已知△def的面积为16，则点d到直线ef的距离为 。
19. if a= is a positive interger,
then the maximum value of positive integer n is 。
20. 自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为s(n)，偶数数字的和记为e(n)，例如s(134)=13 =4，e(134)=4，则s(1)s(2)…s(100)= e(1)e(2)…e(100)=
三、解答题每题都要写出推算过程。
21. (本题满分10分)
甲乙两车在a，b两城连续地往返行驶。甲车从a城出发，乙车从b城出发，且比甲车早出发1小时，两车在途中分别距离a、b两城为200千米和240千米的c处第一次相遇。相遇后，乙车改为按甲车的速度行驶，而甲车却提速了，之后两车又再c处第二次相遇。
之后如果甲车再提速5千米/时，乙车再提速50千米/时，那么两车在c处再次相遇，求乙车出发时的速度。
22. (本题满分15分)
如图9所示，c=90，rt△abc中，a=30，rt△a’b’c中，a’=45。点a’、b分别**段ac、b’c上。将△a’b’c绕直角顶点c顺时针旋转一个锐角时，边a’b’分别交ab、ac于p、q，且△apq为等腰三角形。
求锐角的度数。
23. (本题满分15分)
若矩形的长、宽和对角线的长度都是整数，求证：这个矩形的面积是12的倍数。
一、选择题。
1. b，2. a，3. d，4. c，5. c，6. d，7. b，8. a，9. d，10. c
二、填空题。
20. 501；400，21. 80千米/时。22. 15，60。
23. [证法1]设矩形的长、宽和对角线长分别为a，b，c且a，b，c都是整数，则根据勾股定理知a2b2=c2，我们只需证明a，b，c中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。
1)先证“a，b中必有一个能被3整除”。
若a，b都不是3的倍数，则a2与b2必被3除余1，则c2必被3除余2，但完全平方数被3除只能余0或1，故矛盾。所以a，b中必有3的倍数，即ab为3的倍数。
2)再证“a，b中必有一个能被4整除”。
将a2b2=c2中的a，b，c的公约数约去，得x2y2=z2，其中x，y，z两两互质。我们只需证明“x，y中必有一个能被4整除”即可。首先x，y不能全是奇数，因为，若x，y均为奇数，则x2与y2必都被4除余1，于是z2必被4除余2，但完全平方数被4除只能余0或1，故矛盾。
所以x，y不能全是奇数。因为x，y互质，所以，x，y也不能全是偶数，因此x，y只能是一奇一偶，不妨设x=2p1，y=2m(其中p，m均为整数)，此时z是奇数，设z=2q1(q为整数)，代入y2=z2x2中，得。
4m2=(2q1)2(2p1)2=4(q2qp2p)，即m2=q(q1)p(p1)，因为q(q1)与p(p1)都是两个连续整数的乘积，所以q(q1)与p(p1)都能被2整除，于是m2为偶数，因此m为偶数，设m=2n(n为整数)，则y=2n=22m=4m，于是y能被4整除。
综上，a，b中必有一个能被3整除，也必有一个能被4整除。又因为(3，4)=1，所以ab能被12整除，即这个矩形的面积必为12的倍数。
证法2]设a，b都不是4的倍数，则a，b均为奇数；或a，b中的一个为奇数，另一个为被4除余2的数；或a，b都是被4除余2的数。
1)若a，b均为奇数，则a2与b2必被4除余1，则c2必被4除余2，但完全平方数被4除只能余0或1，矛盾。
2)若a，b中一个是奇数，另一个是被4除余2的数；不妨设a=2k1，b=2(2m1)(其中k，m均为整数)，则a2=4k24k1=4k(k1)1。因为连续整数之积k(k1)能被2整除，所以a2被8除余1，而b2=22(2m1)2=16m(m1)4，于是b2被32除余4，所以a2b2被8除余5，即c2被8除也余5，但完全平方数被8除只能余0或1或4，矛盾。
3)若a，b都是被4除余2的数。设a=2(2k1)，b=2(2m1)(其中k，m均为整数)，则由a2b2=c2知c2为偶数，于是c为偶数，设c=2n，则a2b2=(2n)2=4n2，即22(2k1)222(2m1)2=4n2，约去公因子4，得(2k1)2(2m1)2=4n2，变成两个奇数平方和的情形，根据(1)得出矛盾。
综上，假设“a，b都不是4的倍数”不成立，所以“a，b中必有一个能被4整除”成立。因为(3，4)=1，所以ab能被12整除。即这个矩形的面积必为12的倍数。
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