【2023年12月07日星期一】
选修2-3》§1.2排列组合问题的求解策略。
解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题；其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答．同时还要注意讲究一些策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解．下面介绍几种常用的解题方法．
一）合理分类与准确分步法。
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏．例1五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？分析由题意可先安排甲，并按其分类讨论：⑴若甲在末尾，剩下四人可自由排，有a44种排法；⑵
114311若甲在第。
二、三、四位上，则有a33a3a3种排法．由分类计数原理，排法共有a4+a3a3a3=78种．
二）正难反易转化法。
对于一些生疏问题或直接求解较为复杂、困难的问题，从正面入手情况复杂，不易解决，这时可从反面入手，将其转化为一个简单问题来处理．例2马路上有八盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析关掉第一盏灯的方法有6种，关第二盏、第三盏时需分类讨论，十分复杂．若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为“在5盏亮灯的4个空中插入3盏暗灯”的问题．故关灯方法种数为c43=4．
三）混合问题“先选后排法”
对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列．例34个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析因有一空盒，故必有一盒子放两球．⑴选：从四个球中选2个有c24种，从4个盒中选3个盒有c3⑵排：
把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有a3故4种；3种．
33所求放法有c24c4a3=144种．
四）特殊元素“优先安排法”
对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其他元素．例4用0，2，3，4，5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？分析由于该三位数是偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：⑴0排在末尾，有a24个；⑵0不排在末。
112111尾，有a12a3a3个．由分类计数原理，共有偶数a4+a2a3a3=30个．
五）总体“淘汰法”
对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减．例5用0，2，3，4，5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有多少个？分析五个数字组成三位数的全排列有a35个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排。
2111末位，这两种排法要除去，故有a35a4a2a3a3=30个偶数．
六）局部问题“整体优先法”
对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后再进行局部排列．例67人站成一排照相，要求甲、乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？分析甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有c35种；这个“小整。
2体”与其余2人共3个元素全排列有a33种方法，它的内部甲、乙两人有a2种站法，中间选的3人也有3323a33种方法，故符合要求的站法共有c5a3a2a3=720种．
七）相邻问题“一元法”
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对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素看作一个“元”与其他元素排列，然后再对“元”内部元素排列．例77人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有a55种排法，而甲、乙、
53丙之间又有a33种排法，故共有a5a3=720种排法．
八）不相邻问题“插空法”
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可．例87人站成一排照相，甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同排法？分析先将其余四人排好，有a44种排法，再在这些人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲、
43乙、丙插入，则有a35种排法，这样共有a4a5=1440种排法．
九）顺序固定问题用“除法”
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数．例96个人排队，甲、乙、丙三人按“甲—乙—丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析不考虑附加条件，排队方法有a66种，而其中甲、乙、丙的a3种排法中只有一种符合条件．故。
3符合条件的排法有a66a3=120种．
十）构造模型“隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题．例10方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种方法所得4堆球的各堆球的数目，即为a，b，c，d的一组正整数解，故原方程的正整数解的组数为c311=165．
十一）分排问题“直排法”
把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理．
例117个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析7个人可以在前两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有a77=5040种．
十二）**法。
有些较复杂的问题可以通过列表使其直观化．
例129人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左、右）组队出场，有多少种不同的组队方法？分析由题设，其中有1人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2人．列表如下：
6人只会锋2人只会卫1人既锋又卫。
不同选法311（卫）
221（锋）
由表知，共a36a2+a6c2a2+c6a3a2=900有种方法．
人数。结果。
a36a212a36c2a2
32c26a3a2
除了上述方法外，有时可以通过设未知数，借助方程来解答；简单一些的问题可采用列举法，还。
可以利用对称性或整体思想来解题等．排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础．事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题．这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误．这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧．
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