第三讲随机向量。
一、 随机向量的概念。
与很多试验相关的事件的描述需要多个随机变量，例如打靶的弹着点坐标就需要2维向量来表示，再如教材131页例1-5。
定义1 如果都是概率空间上的随机变量，则称为概率空间上的随机向量。
定义2 如果都是概率空间上的随机变量，是元实函数，则称随机变量为的函数。
二、二维随机向量的联合分布与边缘分布。
1、二维离散型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义如果二维随机向量的取值是有限或无限可列多个，则称为离散型二维随机向量。
定义设是二维随机向量，它的全部取值为，则称为二维随机向量的概率分布，也称为随机变量的联合分布。
如果的全部取值为，的全部取值为，则二维随机向量的全部取值为：，记，则就是随机变量的概率分布，可以用二维概率分布表表示。由概率的定义，满足下面两条性质：
例子， 见教材134页，例
二维随机向量的分量的概率分布分别称为关于的边缘分布。如果知道二维随机向量的联合分布，则边缘分布容易求出：
反之，如果知道二维随机向量的每个分量的概率分布，即边缘分，则并不能求出二维随机向量的联合分布。
例子， 见教材136页，例
2、二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义设是二维随机向量，如果存在二元非负函数使得对任何一对实数：确定的矩形均有：
则称为二维连续型随机向量，称为的概率密度函数或的联合密度函数。
命题：当为二维连续型随机向量的联合密度函数时，对平面上每个波雷尔集合成立：
联合密度函数的一些性质：
1） 若果在连续，则。
当比较大时，在附近取值的概率比较大；当和均连续且均为联合密度函数时，必有。
2） ；反之如果非负二元实值函数使，则有二维连续型随机向量的联合密度正好为。
3） 如果为的概率密度函数，仅与在有限个或可数个点上值不同，则也是的密度函数。
二维均匀分布和二维正态分布的密度函数分别为：
其中参数：。
定理如果称为的联合概率密度函数，则。
和分别为的密度函数。
例子，见教材138-143页，例
注：联合密度函数决定边缘密度函数，但边缘密度不能决定联合密度函数，不同的联合密度函数可以有相同的边缘密度函数。
3、二维非离散且非连续型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义设是一个二维随机向量，称函数为随机向量的分布函数，或的联合分布函数。
随机向量的分布函数具有如下性质：
1〉是的不减函数：若，则；是的不减函数：若，则；
2〉 ，特别，3〉 在任一点处右连续：，在任一点处右连续：
4〉 对任何一对实数：有：
命题：如果为的联合概率密度函数，则的联合分布函数。
命题：如果的联合概率分布函数有二阶连续偏导数，则。
考虑二维连续随机变量落入矩形域内的概率：
当时，下述极限称为二维连续随机变量的联合密度函数：
例1：设二维随机变量在以原点为中心、为半径的圆盘内服从均匀分布，求联合概率密度函数。
例2：求常数a使二元函数为某二维随机变量的联合概率密度函数。
例3：多元正态分布。
如果是正定对称矩阵，，为的行列式的值，是行向量，则密度函数。
定义的分布称为元正态分布，记为：。
当时，取，得二元正态分布的密度函数如下：
三、 随机变量的独立性。
定义设都是随机变量，如果对任意实数：，事件a=与b=相互独立，则称独立。
注1 如果独立，则对任意实数：，事件与相互独立；事件与相互独立；事件与相互独立。
注2 如果独立，则对任何一维波雷尔集，事件与相互独立。
定理1 如果的全部取值为，的全部取值为，则独立的充分必要条件是：。
定理2 如果有密度函数，有密度函数，则独立的充分必要条件是：为随机向量的联合概率密度函数。
推论1 如果随机向量的联合概率密度函数，且收敛，则独立。
定理3 如果有分布函数，有分布函数，则独立的充分必要条件是：为随机向量的联合分布函数。
例子，见教材148页，例1
四、二个随机变量的函数的分布。
1、 和的分布。
1） 离散随机变量的和的分布。
两个离散随机变量的和的分布列。
2） 连续随机变量的和的分布。
两个连续随机变量的和的分布函数。
两个连续随机变量的和的密度函数。
3）如果有密度函数，有密度函数，且独立，则的分布密度函数为：
例子，见教材151-513页，例.
2、商的分布。
1）离散随机变量的商的分布。
两个离散随机变量的商的分布列。
2） 连续随机变量的商的分布。
两个连续随机变量的商的分布函数。
两个连续随机变量的商的密度函数。
例子， 见教材155页，例.
3、乘积的分布。
1）离散随机变量的乘积的分布。
两个离散随机变量的乘积的分布列。
2） 连续随机变量的乘积的分布。
两个连续随机变量的乘积的分布函数。
两个连续随机变量的乘积的密度函数。
4、平方和的分布。
1）离散随机变量的平方和的分布。
两个离散随机变量的平方和的分布列。
2） 连续随机变量的平方和的分布。
两个连续随机变量的平方和的分布函数。
两个连续随机变量的平方和的密度函数。
5、最大值和最小值的分布。
1）离散随机变量的最大值和最小值的分布。
两个离散随机变量的最大值的分布列。
两个离散随机变量的最小值的分布列。
2） 连续随机变量的最大值和最小值的分布。
两个连续随机变量的最大值的分布函数。
两个连续随机变量的最大值的密度函数。
两个连续随机变量的最小值的分布函数。
两个连续随机变量的最小值的密度函数。
6、两个随机变量的两个函数组成的二维随机向量的联合分布函数和密度函数。
定理设二维随机向量有联合密度函数为，平面区域满足，二元函数满足下述三个条件：
1） 对任何实数，方程组在中至多有一个解：；记。
2） 在中每点有连续偏导数；
3） 雅可比行列式在中每点非0；
记， 则是的联合密度函数。
五、二维随机向量的数字特征。
定理4 如果独立，均存在，则。
定理5 如果独立，均存在，则。
推论：若独立随机变量的方差均存在，则的方差存在，并且。
定理6 （1）如果二维随机向量的可能取值为：，是任何二元函数，则；
2） 如果二维随机向量有联合密度函数为，二元函数使收敛，则。
例教材199页：习题13。
六、协方差与相关系数。
1 协方差。
1）定义：随机变量的离差与随机变量的离差的乘积的数学期望称为随机变量与随机变量的协方差，记为：
2）性质。定理1。
定理2 如果随机变量与随机变量独立，则它们的协方差为0，即。
定理3 。定理4 如果随机变量的方差均存在，则。
2 相关系数。
1） 定义：随机变量与随机变量的离差、的标准化随机变量，的协方差称为随机变量与随机变量的相关系数，记为：
2） 性质。
定理1。定理2
证明：注意到： ，
因为，所以。
注： 引理3 如果是两个同类型（即均为离散随机变量或连续随机变量）的随机变量，且，则。
证明：(1)当随机变量为离散随机变量时，设其概率分布列分别为：
则。因为，所以）；
类似地， 于是；
2)当随机变量为连续随机变量时，设其密度函数分别为。
则， 另一方面，
因为，所以）所以。故。
综上得引理的证明。
定理3当且仅当存在常数使，而且。
证明：由前面定理2的注知道：仅需证明：当且仅当存在常数使，而且。
必要性。由切比雪夫不等式知道：对任意的，有。
从而，即。取就满足必要性要求。
充分性由及引理3知道。
于是。定理4 如果随机变量与随机变量独立，则它们的相关系数为0，即。
定理5 如果随机变量与随机变量的方差均为正数，二者的相关系数为，则。即相关系数的绝对值越大，则用的最好线性函数近似时的均方偏差越小。
例子：见教材161-163例5.1,5.2，5.3.
七、-维随机向量的联合分布与边缘分布。
1、-维离散型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义如果-维随机向量的取值是有限或无限可列多个，则称为离散型-维随机向量。
定义设是-维随机向量，它的全部取值为，则称为-维随机向量的概率分布，也称为随机变量的联合分布。
维随机向量的分量的概率分布分别称为关于的边缘分布。如果知道-维随机向量的联合分布，则边缘分布容易求出；反之，如果知道-维随机向量的每个分量的概率分布，即边缘分布，则并不能求出-维随机向量的联合分布。
2、-维连续型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义设是-维随机向量，如果存在-元非负函数使得对任何-对实数：确定的矩形均有：
则称是-维连续型随机向量，称为的概率密度函数或的联合密度函数。
命题：当为-维连续型随机向量的联合密度函数时，对-维欧氏空间上每个波雷尔集合成立：
联合密度函数的一些性质：
4） 若果在连续，则。
当比较大时，在附近取值的概率比较大；当和均连续且均为联合密度函数时，必有。
5） ；反之如果非负-元非负函数使，则有-维连续型随机向量的联合密度正好为。
6） 如果为的概率密度函数，仅与在有限个或可数个点上值不同，则也是的密度函数。
定理如果称为的联合概率密度函数，则。
和，分别为的密度函数。
注：联合密度函数决定边缘密度函数，但边缘密度不能决定联合密度函数，不同的联合密度函数可以有相同的边缘密度函数。
3、-维非离散且非连续型随机向量的联合分布与边缘分布。
定义设是一个-维随机向量，称函数，为-维随机向量的分布函数，或的联合分布函数。
随机向量的分布函数具有如下性质：
1〉是的不减函数；
2〉，特别，3〉 关于每个分量右连续；
命题：如果为的联合概率密度函数，则的联合分布函数。
命题：如果的联合概率分布函数有-阶连续偏导数，则。
例1：多元正态分布。
如果是正定对称矩阵，，为的行列式的值，是行向量，则密度函数。
定义的分布称为元正态分布，记为：。
当时，取，得二元正态分布的密度函数如下：
例子见教材165-166例
八、-个随机变量的独立性。
定义设都是随机变量，如果对任意实数：，事件a=与b=相互独立，则称独立。
注1 如果独立，则对任意实数：，，事件a=与b=相互独立；事件a=与b=相互独立；事件a=与b=相互独立。
注2 如果独立，则对任何-维波雷尔集，事件与相互独立。
定理1 如果的全部取值为，则独立的充分必要条件是：。
定理2 如果有密度函数，，则独立的充分必要条件是：为随机向量的联合概率密度函数。
推论1 如果随机向量的联合概率密度函数，，且收敛，则独立。
定理3 如果有分布函数，则独立的充分必要条件是：为随机向量联合分布函数。
九、-维随机向量的数字特征。
维随机向量的期望定义为：
十、-个随机变量的函数的分布和期望。
设是-个随机变量，是-元函数，下面求的分布和期望。
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