例01】如图所示，已知梯形内接于，，过点作圆的切线交的延长线于点且。
如果，，则 .
解析】填。如图所示，延长交于点，连接，则。
因为与相切于点，所以。
由可知，故，从而，所以。由可得，所以，故。
易知四边形为平行四边形，所以，.
由切割线定理可得，即，故。
而，故，即，故。
例02】如图所示，在凸四边形中，且垂足为。设是内心，为。
中点，求证且。
解析】连接，延长、交于。则，且。连，则，.且，故。
又，故，.因此∽，.而，所以。
点评】与是两不相连的线段，要证它们互相垂直，常用的方法是，分别以它们为边，构造两相等角，其另一边互相垂直，且边顺序相同。图中与就是这样的一对角，其对应边的顺序相同——右旋至，其对应边也右旋至对应边。若对应边顺序不同，则二角互补，而不是相等。
例03】是一元二次方程的一个根，对任意的有理数，有理数、满足。
1)求和 (用的代数式表示).
2)是否存在这样的有理数使得或中至少有一个等于？若存在，求出这样的值；若不。
存在，说明理由。
解答】 ⑴因是的根，则。
由，得，即。
从而，.又是无理数，、、是有理数，所以。解得，.
不存在。若，则，即，此方程的根是无理数。
若，则，即，此方程无有理数根。
故满足条件的有理数不存在。
例04】已知二次函数。
1)若此二次函数的图象经过点，且记、两数中较大者为，试求的最小值。
2)若、变化时这些函数的图象是不同的抛物线，如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的。
交点，过这三个交点作圆，求证：这些圆都过同一个点并求出该顶点的坐标。
解答】 ⑴由二次函数过点得，.
注意到，所以，.再利用函数图象可知，当时，.
图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为，，.
又，若，则与三个交点不符。故。
所以，分别在原点左右两侧。
又，所以存在点使得。
故、、、四点共圆，即这些圆必过定点。
例05】二次函数的图象过点，、，且满足。
1)求证或。
2)求证函数的图象必与轴有两个交点。
3)若关于的不等式的解为或，解关于的不等式。
解答】 ⑴由，得。解得或。
当时。二次函数的图象开口向上，图象上的点、的纵坐标至少有一个为，所以图象与轴有两个交点。
故函数的图象与轴有两个不同的交点。
因为的解集为或，所以，，，
从而的两个根为，.
于是的两个根为，.
因为，所以。
故不等式的解集为或。
例06】已知．则的值为___
a．3b．4c．5d．6
解析】 c．注意到，所以，．
例07】已知为单位正方形，点是其中心，是上的一点，直线交的延长线于点，交于点，交于点。若，求的长度。
解析】如图所示，设 ()则，.
由可得，则。
由可得。因为平分，则，故。 ①
在及其截线中，由梅涅劳斯定理可得，故，从而，即，所以。 ②
作，其中是的中点，则，故。
由①、②可得，整理可得，即。因为，所以。
故，此时是的中点。
例08】如图所示，在梯形中，，，
求的长．解答】 如图，作点关于的对称点，联结、、．
设与交于点．由，知点、到的距离相等．则。
设，．由，得．故、、、四点共圆．
由，得．故．
又．故．由角平分线的性质得．
又因为，所以，，，
于是，由，解得．故。
2 初三数学总复习
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