资源约束条件下工期、质量、成本综合均衡优化。
工期、成本和质量称为工程项目的三大控制目标， 三者之间相互依存、相互影响， 形成一个辩证的统一体。 因此， 必须对工期、质量、成本进行综合、均衡、统筹考虑。 由于受资金、人力、技术和地理环境等的制约， 在资源有限的约束条件下， 如何在三者之间取得平衡， 一直是业主、承包商、监理方共同关注的问题。
工程项目的工期、质量和成本三大目标之间的关系[1 ] 如图1 所示。
网络计划问题是解决工程项目优化问题的基本方法。网络计划技术在解决工程费用、工期、资源等单目标优化问题方面， 带来了极大的方便。 然而， 现代的工程项目不单考虑工期、费用和资源均衡目标的优化， 还要综合考虑工程质量、安全和风险等诸多难以定量的因素， 甚至还要考虑在资源均衡、安全和风险约束下的工程质量、费用、工期的多目标优化问题， 网络计划技术在解决多个目标权衡的优化问题时效果往往不尽人意， 这就要求引入其它优化方法和技术综合加以解决。
国内外一些学者在质量成本、工期成本优化方面做了大量卓有成效的研究[1～ 6 ] 而目前对工期、质量优化以及工期、质量、成本的综合优化问题研究较少， 尤其是对基于资源约束条件下的工程综合优化问题的研究更加少见。 文献[ 1 ]认为成本、工期和质量是评价建筑工程项目的主要指标， 文献[ 3 ]介绍了基于pert 技术的工程项目工期、费用、质量控制模拟模型及风险分析方法， 文献[ 4 ]建立了线形模型来研究工期、成本以及质量之间的平衡关系。 文献[ 2 ]利用线性方程分解三者相关效用提出了对三者进行综合均衡优化的模型， 将遗传算法引入工程优化问题， 实现工程项目多目标优化， 得到了较为满意的效果。
文献[ 5 ]采用动态规划(dp) 法进行工期优化。 文献[ 6 ]则应用模糊数学和遗传算法来解决工程资源优化问题。 文献[ 1 ]利用微粒群算法对三者之间的综合优化进行了研究。
笔者在总结前人研究成果的基础上， 利用多属性效用函数及其分解定理[7 ] 采用乘除式分解形式， 建立了在资源约束条件下的工期、质量、成本的综合均衡优化与控制模型， 并引入了遗传算法， 对通用模型进行模拟求解， 通过实例验证方法的有效性， 为工程项目的综合管理提供了一定的理论依据并具备现实参考价值。
1 多属性效用函数及其分解。
1. 1 多属性效用函数的确定。
效用理论起源于j. ben tham (1948 年) ,起初， 为个人之间偏好比较的一种工具， 后来， 效用函数扩展应用于消费的需求理论和经济学、私人和公共政策及管理控制问题的研究。 对于多目标决策问题， 效用函数原则上。
能够对非劣势目标集进行完整排序， 能得出最高效用的非劣势解， 即为最佳协调解。 工程项目管理工作， 是一项多目标决策问题， 选择工期最短、质量最优、成本最低为控制目标[2 ].
在工期、质量、成本的综合优化与控制中， 笔者应用效用分析的方法对其进行规范化。 本文中， 选择工期t、质量q、成本c 作为多属性变量， 则多属性效用函数就由这3 个具有不同属性的变量构成， 其表达形式为：
u : t ,q , c) u (t ,q , c) ∈u ∈r. (1)
式(1) 中： r 表示实数集。
以工期、质量、成本为变量的多属性效用函数u (t ,q , c) 可以看作是对这3 个目标进行综合优化与控制得到的效用最大化的函数。
1. 2 多属性效用函数的分解。
由于在实际工作中3 个变量的优化与控制非常困难， 因此， 本文中首先将多效用函数进行分解， 即先对两两变量之间的关系进行分析， 然后再将这些双变量效用函数进行合成， 综合分析三变量。
依据多属性效用函数的分解定理，u (t ,q , c) 可以采用乘除式的分解形式[7 ]:
u (t ,q , c) =u (q , c) ·u (t , c) /u (t ,q2)
式(2) 中： u (q , c) 表示质量成本函数，u (t , c) 表示工期成本函数，u (t ,q ) 表示工期质量函数。
2 模型的建立。
2. 1 质量成本关系模型。
质量成本有预防成本、鉴定成本、内部故障成本和外部故障成本4 项构成。 其中， 预防成本和鉴定成本统称为预鉴成本， 内外部故障成本统称为故障成本。 美国著名质量管理专家朱兰博士(d r.
j. m. ju ran) 指出， 质量成本4个构成项的适宜比例是：
预防成本约占10% ,鉴定成本约占40 % 内外部故障成本约占50%. 在质量成本的关系， 可用“最佳质量成本模型”表示为图2 所示[3 ].
根据质量成本模型， 用正切函数模拟预鉴成本， 用余切函数模拟故障成本， 故得质量成本关系模型为：
式(3) 中： cni表示工序i 的正常直接费用； ω1 和ω2分别为预鉴成本与故障成本占质量总成本的比例， 此处ω1=ω2= 0. 5; r ( i) 为第i 个子系统的可靠度， 即第i 项工序的质量等级， 在工程项目中每一项分部分项工程或每一项作业(工序) 都可以看作一个子系统； p 1、p 2 为成本增长指数， 该值对不同的企业， 由于其技术及管理水平的不同， 其取值也不同。
2. 2 工期成本关系模型。
为简化计算， 假设工期和成本的关系是线性的， 工期推延，必然会引起成本的增加， 两者成反比关系。 因而工期和成本的关系可用图3 表示。
图3 中： 工期成本线的斜率为ai =（cni － cci) /tni － tci),截距为bi =（tni cc i － cni tci) /tni － tci)
工期成本优化问题的目标是通过压缩关键路径上的工期来满足工期的要求， 同时使得工程费用最低， 从而得到工期成本的关系模型为：
式(4) 中： tni表示完成工序i 的正常持续时间， tci表示完成工序i 的极限时间， cci表工序i 的极限费用， cni表示工序i 的正常直接费用， t i 表示工序i 的实际持续时间。 且有。
tni≥tci> 0, cci≥cni> 0.
2. 3 工期质量关系模型。
为了简化计算， 同理可假设工期和质量之间的关系是呈线性的， 某项工序持续的时间越短， 实际质量越低，两者呈正比例关系， 且当t = 0 时，q = 0. 因而， 工期和成本的关系可由图4 表示。
图4 中： 工期质量线的斜率为d i= (qni－ qci ) tni － tci)
工期质量优化问题， 就是在质量一定的情况下， 工期最短， 或者在工期既定的条件下， 质量最优。 为了尽可能得提高工程质量的可靠度， 在正常进度下得到工期质量的关系模型为：
式(5) 中： qni表示工序i 的正常质量， qci表示工序i 的极限质量，
且有qni≥qci> 0, tni≥tci> 0, ∑t i= t , 其它符号意义与前述相同。
2. 4 工期质量成本综合优化与控制模型的建立。
通过以上分析， 工期质量成本的综合优化就是多效用函数u (t ,q , c) 的效用最大化， 即u (t ,q ,c) 取值最大， 也即u (q,c)、u (t ,c) 分别取得最大值，u (t ,q ) 取最小值。 从而建立工期、质量、成本多目标综合优化与控制模型(6):
s. t.
tni≥tci. [工期资源限制(通过网络资源计划得到的工期短于户主要求的工期) ]7)
cci≥cni. [成本资源限制(最后费用不能超过最大的预算费用8)
qni≥qci.[质量资源限制(质量不能差于业主要求的质量) ,由r (i) 限定] (9)
r = r (1) ,r (2) ,r (n) ]r s , 0≤r (k ) 1, k= 1, 2, ,n ω1=ω2= 0. 5. (10)
式(6)～ 10) 中： 所有变量都为非负。
3 算法设计与模型求解。
考虑到工程项目的特点， 利用遗传算法对工程项目的工期、质量、成本综合优化与控制模型进行求解。 遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机化搜索算法， 由美国j. ho lland 教授提出， 其主要特点是群体搜索策略和群体中个体之间的信息交换、搜索不依赖于梯度信息[9 ].
选择(select ion)、交叉(cro ssover) 和变异(mu tat ion) 是遗传算法的三个主要控制算子， 它们构成了所谓的遗传操作(genet ic operat ion). 参数编码、初始群体的设定、适应度函数的估计、遗传操作设计、控制数设定5 个。
要素构成了遗传算法的核心内容[9, 10 ].根据遗传算法的一般步骤， 算法设计与模型求解思路如下。
1) 参数编码本文中的成本优化问题属于数值优化问题， 为便于与传统算法接口， 选用浮点数编码。 将每一项作业的成本和可靠度对应的浮点数作为一个基因， 时间基因对应于工序持续时间染色体， 成本基因对应于成本染色体， 可靠度基因对应质量染色体， 每一条染色体对应问题的一个解。
2) 适应度函数由于本例所求的是目标函数极小化问题， 需要进行适应度变换， 根据实际应用的经验， 选用适应度的线形尺度变换。
3) 遗传算子设计遗传算子包括选择算子、交叉算子和变异算子。 为了加快遗传算法的收敛速度， 增**体的多样性， 在进行选择操作时适当保留一些较差的个体的同时， 我们采用动态交叉算子及动态变异算子(一般交叉概率的取值范围为0. 40～ 0.
99, 变异概率的取值范围为0. 0001～ 0. 1000).
具体实现公式如下。
式(11) 中： p c、pm 为进化到当前代为止的交叉、变异概率； p c0、pm 0为初始交叉、变异概率； t 为当前进化代数； t为设定的最大进化代数。
4) 系统参数及迭代终止条件设定编码串长度为网络计划的工序总个数， 群体的规模为m , 一般m 的取值范围为20～ 100; 初始交叉概率为p c0, 其取值范围一般为0. 40～ 0. 99; 初始变异概率为pm 0, 其取值范围一般为0.
0001～ 0. 1000; 终止代数t 表示遗传算法运行结束条件的一个参数。
遗传算法流程如图5 所示[11 ].
4 应用实例。
本示例取自某水电站工程。 已知工程简明网络计划如图6 所示， 该工程各工序的最短持续时间、正常持续时间、最长持续时间、工程直接费及直接费的费用率的值如表1 所示。 间接费率为1.
40 万元d , 且按正常持续时间完成计划时， 间接费为448 万元， 在算例优化过程中不考虑。 该工程的合同工期为640 d, 计划达到的质量等级为部优工程(即系统的总可靠度达到0. 8 以上).
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