资金限额条件下投资项目的最优投资组合及投资安排是某些公司经常遇到的问题，公司对这些项目进行组合与投资安排时，不仅要考虑各项目的投资额大小和收益情况，还要考虑项目投资的风险大小。在实际的投资中，一般来说，投资越分散，总的风险越小，而高风险伴随着高收益，低风险伴随着低收益。收益是风险的回报，风险是收益的代价。
在风险可承受的条件下，对如何去争取尽可能大的收益率，本文基于此点，结合实例进行了分析。 本文在“净收益尽可能大，且总体风险尽可能小”的要求下，结合实例进行合理性假设，建立了多目标规划模型（见4.1），并对模型作了合理的简化，得到了一个简化后的双目标线性规划模型（见4.
2）。在模型的求解中，本文基于多目标规划转化为单目标规划的思想，采用了较为常用的“约束法”，得到了极大化净收益下的模型。由这个模型，通过excel对数据处理做出散点出，直观地得到一个得到满足题意要求的最优投资方案。
关键词：体风险函数、总体净收益函数、多目标规划、约束法
目录。一．问题重述 1
二．模型假设 2
四．模型的分析与建立 3
4.1模型的建立 3
4.2模型的简化 4
五．模型的求解 5
5.1多目标规划转化为单目标规划 5
5.2约束法转化 5
六．模型评价 9
参考文献 10
附件数据 10
市场上有种资产（如**、债券、…）供投资者选择，某公司有数额为的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并**出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。
购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是， 且既无交易费又无风险。（=5%） 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择的购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。
（相关数据见附件）
1.投资越分散，总的风险越小； 2.总体风险用投资项目中最大的一个风险来度量；且各资产之间是相互独立的； 3.
净收益和总体风险只受各资产平均收益率、风险损失率、交易费率的影响，不考虑其他因素的干扰。 4.在投资时期，各资产平均收益率、风险损失率、交易费率和银行存款利率是不变的；
三．符号说明。
给定的公司投资总资金；
第种投资项目，如**，债券；:投资项目的平均收益率， 交易费率，风险损失率； :存银行的交易费率，风险损失率； :
同期银行存款利率；：投资项目的交易定额； ：投入项目i的资金；
存入银行的资金；:总体净收益函数；:总体风险函数；
风险水平；1）总体风险函数的求解：由题中知，总体风险可用所投资项目中最大的一个风险来度量，则可得总体风险函数。
2）总体净收益函数的求解：由购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费），则购买的交易费为：
进而可得总体净收益函数为：
3）多目标规划模型的建立：由题意，要求公司的投资组合方案，需满足净收益尽可能大，且总体风险尽可能小。据此及上述得到的投资总体风险函数和总体净收益函数，我们得到了一个多目标规划模型如下：
目标函数。约束条件。
为了便于后面模型的求解，我们对模型做了如下的简化： （1）总体风险函数的简化：取新变量，令。
则目标函数(2)可化为等价的形式如下：
2）总体净收益函数的简化：由上4.1中得到的购买各项目的交易费式可看出，各项目购买交易费是个分段函数；且题目所给定的投资项目的交易定额相对总投资是很小的，更小，故此可忽略不计，这样购买的净收益为。
则目标函数ⅰ可化为近似的形式如下：
（3）简化后的规划模型——双目标线性规划模型：综上所述，我们得到简化后的模型如下。
结合上述模型，带入相关数据，即可得到公司要求的净收益尽可能大，且总体风险尽可能小的优化投资方案。
在模型的建立中我们得到的是多目标规划模型，显然这是不利于计算求解的，为此在多目标规划转化为单目标规划的思想指导下，我们采用“约束法”对得到的多目标规划模型进行了转化，从而得到了易于计算的模型。
所谓的“约束法”，即在多个目标中选中一个主要目标，而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不比期望值坏的情况下，求主要目标的最优值。由此我们可得了两种模型转化如下：
固定风险水平，极大化净收益。
根据投资者承受风险的程度不同，确定风险水平，使每一项投资的风险损失不超过，进而极大化净收益，可把多目标问题转化为单目标问题，得到最优投资组合。 模型如下：
在相同的风险损失率下，对不同的值，其最优方案中投资于各种资产的比例不变，因此将取为1，并不影响最终结果。只不过这样所求的总的净收益变为投资组合的净收益率了。
由附表一中的数据，通过lindo 软件执行以下命令行，即可得到求解结果。 执行的命令行：
max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4
stx0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1
0.025x1<0.000
0.015x2<0.000
0.055x3<0.000
0.026x4<0.000
end运行结果：
lp optimum found at step 0
objective function value
1) -0.5000000e-01
variable valuereduced cost
x0 0.0000000.100000
x1 0.0000000.320500
x2 0.0000000.241000
x3 0.0000000.237250
x4 0.0000000.238250
row slack or surplus dual prices
no. iterations= 0
执行的命令行：
max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4
st x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1
0.025x1<0.002
0.015x2<0.002
0.055x3<0.002
0.026x4<0.002
end运行结果：
lp optimum found at step 4
objective function value
variable valuereduced cost
x0 0.6632770.000000
x1 0.0800000.000000
x2 0.1333330.000000
x3 0.0363640.000000
x4 0.0769230.000000
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