高2013级理科数学元旦假期作业。
1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
a．圆台 b．棱台 c．圆柱 d．棱柱。
2．某中学为了解高中学生学习心理承受压力情况，在高中三个年级分别抽取部分学生进行调查，采用的最佳抽样方法是（ ）
a．简单随机抽样 b．系统抽样 c．随机数表法 d．分层抽样。
3．三棱锥中，分别是的中点，则四边形是（ ）
a．菱形 b．矩形 c．梯形 d．正方形。
4．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12；设其平均数为，中位数为，众数为，则有（ ）
a． b． c． d．
5．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合的子集的概率是（ ）
abcd．
6．设是一条直线，，，是不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
a．如果，那么内一定存在直线平行于。
b．如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于。
c．如果，，，那么。
d．如果，与，都相交，那么与，所成的角互余。
7．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
a． b． c． d．
8．如图，在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是（ ）
abcd．
9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）
abcd．
10．如图，在三棱锥中，在内，，则的度数为（ ）
abcd．
11．输入，运行如图所示的程序之后得到的等于。
12．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球表面积之比为___
13．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数、
6)，骰子朝上的面的点数分别为，，则事件发生的概率为___
14．设命题：（）命题：（）若命题是命题的充分非必要条件，则的取值范围是。
15．如图，在四棱锥中，为正三角形，平面，为的中点。
16. 已知：，：
1）若，命题“且”为真，求实数的取值范围；
2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。
17．如图，在矩形中，点为边上的点，点为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面。
1) 求证：平面平面；
2) 求二面角的大小。
18．某班同学利用寒假进行社会实践，对年龄在的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
1）补全频率分布直方图，并求的值；
2）从年龄在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在的概率。
19．如图，在长方体中，，点是棱上的一个动点。
1)证明：；
2)当为的中点时，求点到面的距离；
3)线段的长为何值时，二面角的大小为。
参***。1．a
解析】试题分析：正视图、侧视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，则该几何体可以是圆台，故选a.
考点：1.空间几何的结构；2.三视图。
2．d解析】
试题分析：不同年级的学生在学习上的心理承受压力上有所差异，所以应该按照年级进行分层抽样，故选d.
考点：随机抽样。
3．b解析】
试题分析：如图，在中，点分别为边的中点，所以，同理，所以，，所以四边形为平行四边形，而，所以，所以四边形是矩形，故选b.
考点：空间中的平行与垂直关系。
4．c解析】
试题分析：将10名工人某天生产同一种零件的件数从小到大排列：10，12，14，14，15，15，16，17，17，17；则处在最中间的两个数为15，15，故中位数为15，即，出现次数最多的是17，故，而，所以，选c.
考点：样本的数字特征问题。
5．c解析】
试题分析：因为的子集有：共8个（也可用公式计算的子集数：，其中3表示集合中元素的个数），而集合的子集有：共4个，故所求的概率为，故选c.
考点：1.集合的基本概念；2.古典概率。
6．d解析】
试题分析：对于a，，说明这两个平面必相交，设其交线为，任意直线且，由平面的基本性质可知，所以由线面平行的判定定理可判定，正确；对于b，假设且，则由面面垂直的判定定理可得，这与条件不垂直于相矛盾，假设不正确，故b也正确；对于c，如下图（1），设，在平面内取一点，作于点，于点，则由面面垂直：的性质可得，而，所以，由线面垂直的判定定理可得，故c选项正确；对于d，这是不成立的，如下图（2）的长方体，设，分别记平面、平面为，记直线为，则与平面所成的角分别为，而，故，，故d选项不正确，选d.
考点：1.空间中的平行、垂直问题；2.线面角。
7．d解析】
试题分析：依题意有，
故选d.考点：平均值与标准差。
8．b解析】
试题分析：如图，取线段的中点，连接，则依题意可知，且顶点在底面的射影落在上，所以由面可得，而，所以由线面垂直的判定定理可得平面，所以有，而是边的中点，所以，而，所以，而，由线面垂直的判定定理又可以得到平面，再结合三棱锥为正三棱锥且，所以该正三棱锥的侧棱两两垂直且，所以，故选b.
考点：1.空间中的垂直问题；2.三棱锥的体积问题。
9．a解析】
试题分析：第一次循环时：
第二次循环时：
第三次循环时：
第四次循环时：
故最后输出，选答案a.
考点：程序框图。
10．c解析】
试题分析：过点分别作平面、平面、平面的垂线，然后依题意可补成一个长方体（如下图）
记，则，而。
所以，而。所以，而为锐角，所以，选c.
考点：1.空间中线线的成角问题；2.化归与转化的思想。
解析】试题分析：这段程序语言求的是一个分段函数的函数值问题，所以输入时，.
考点：程序语言。
解析】试题分析：在边长为3的正方形内，点的集合所表示的区域为：如下图中的阴影部分，故所求的概率为。
考点：几何概型的概率问题。
解析】试题分析：根据三视图可知，该空间几何体是由两个全等的正四棱锥倒立相接而成（中间为原正四棱锥的底面），并且正四棱锥的高为，底面边长为1，则可计算出正四棱锥的斜高为，所以该空间几何体的表面积为，而该空间几何体的外接球的半径为原来正四棱锥的高度，所以该空间几何体的外接球的表面积为，所以两表面积之比为：.
考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积的计算。
解析】试题分析：先后抛掷一枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数的所有可能情况有种，而满足即的情况有：，，共三种情况，故所求的概率为。
考点：1.古典概率；2.对数的运算。
解析】试题分析：对于①，如图（1），作面，则有，而，所以面，所以，同理可证，故为三角形的垂心，所以，而，所以平面，故，命题正确；对于②，应该讲当为锐角或直角时，等于异面直线与所成的角，当为钝角时，的补角才等于异面直线与所成的角，命题不正确；对于③，根据球的性质：球心与小圆圆心（本题中相当于外接圆的圆心）相连垂直于小圆所在的平面，可知该命题正确；对于④，如下图（2），其中，易知该三棱锥的四个面都是全等的三角形，但该三棱锥并不是正四面体。
考点：1.空间中的垂直问题；2.异面直线成角的理解；3.球的性质；4.正四面体的结构。
解析】试题分析：（1）由点的坐标先计算出向量、的坐标，然后利用公式计算出向量夹角的余弦值，最后由余弦值即可确定向量、的夹角；（2）根据一个向量在另一个向量方向上的投影公式进行计算即可。
试题解析：(12分。
5分。而7分。
8分。2)在方向上的投影12分。
考点：空间向量的基本运算问题。
17．（1）详见解析；（2）详见解析。
解析】试题分析：（1）本题中先取的中点，然后根据题意易证且，从而四边形是平行四边形，这样就可得到，最后就是由线面平行的判定定理可得结论；（2）根据（1）中所证得的，要证平面，只须证平面，由题中的条件不难证明，最后由线面垂直的判定定理可得平面，根据，可得结论。
试题解析：证明： (1)取的中点，连接。
则2分。且，则四边形是平行四边形。
平面内，所以平面 6分。
2) 平面，，所以平面，而面，所以。
因为为的中点且为正三角形，所以。
又，所以平面。
又平面12分。
考点：1.线面平行的证明；2.线面垂直的证明。
18．方程没有实数根的概率为。
解析】试题分析：先由二次方程没有实数根得到即，然后结合的取值范围作出不等式与的平面区域，最后由几何概型的概率计算公式可得所要求的概率。
试题解析：由方程没有实数根，得：即或者，又因为。
作出平面区域图如下图所示8分。
可知方程没有实数根的概率为：
故方程没有实数根的概率为12分。
考点：1.几何概型的概率问题；2.二次方程的根的个数与判别式的关系；3.数形结合的思想。
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