优化设计作业12道整理

1. 阐述优化设计数学模型的三要素。写出一般形式的数学模型。

三要素：设计变量，目标函数，约束条件。

2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念。

对于不等式约束，其极限情况个gj(x)=0所表示的几何面（线）将设计空间分为两部分：可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中得活动范围；另一部分所有点均不满足约束条件式，它就是设计的不可行域。

3. 无约束局部最优解的必要条件。

目标函数在局部最优解处各变量一阶偏导数为0。

定理：若x*为f（x）的局部极小点，且在ne（x*）内f（x）一阶连续可导，则g*=▽f（x*）=0。

4. 阐述约束优化问题最优解的k-t条件。

在上述定理中，若。

5. 给出图中的可行设计点、边界设计点和不可行设计点。

答：可行设计点x1，边界设计点x2，边界设计点x3

6. 根据逼近思想所构造的优化计算方法的基本规则。

1）首先，初选一个尽可能靠近最小点的初始点，从出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到点；

2）得到新点后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从点出发再跨一步，达到，并依次类推，最终达到目标函数的最优点；

3）每向前跨一步，都应检查所得到的新点能否满足精度，即，如果满足，即函数值的下降量已达到精度要求，则认为为局部最小点，否则应以为新的初始点，继续探索。

7. 数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件？

8. 说明函数梯度的性质。

1) 梯度方向是函数等值线(或等值面)的法线方向。

当s方向与该点的梯度相垂直时，函数在该点沿s的方向导数等于零。

说明方向位于该点等值线的切线上(或等值面的切平面内)→函数在该点的梯度方向必定是该点等值线或等值面的法线方向。

2) (负)梯度方向是函数值(下降)增长最快的方向。

当s方向与梯度夹角为零时，方向导数达到最大值。

函数在一点的梯度方向是该点方向导数最大的方向(函数值增长最快的方向)；与梯度相反的方向称为负梯度方向。函数在一点的负梯度方向是该点函数值下降最快的方向。与梯度成锐角的方向是函数值上升的方向，与梯度成钝角的方向是函数值下降的方向。

3) 各点函数梯度不同。梯度大小就是梯度的模长。

4) 梯度是函数在一点邻域内局部性态的描述。

5) 极值点处梯度为零梯度为零不一定是极值点。

9.阐述变尺度法的基本思想。

又称拟牛顿法。其基本思想是，设法构造一个对称矩阵[a(k)]来代替目标函数的二阶偏导数矩阵的逆矩阵，并在迭代过程中使[a(k)]逐渐逼近，从而减少了计算量，又仍保持牛顿法收敛快的优点，是求解高维数（10~50）无约束问题的最有效算法。

10.什么是共轭梯度法。

共轭梯度法是利用目标函数的梯度逐步产生共轭方向并将其作为搜索方向的方法。

11.分析比较牛顿法、梯度法和powell法的特点。

牛顿法：收敛快，但是要计算[h(x^((k) )1)，计算繁琐，不适于多变量，高幂次。

共轭梯度法：收敛快，计算简单，但是需要计算函数梯度。

powell法：不必计算导数，但是计算速度不是很快。

12.设约束优化问题的数学模型为。

试用混合惩罚函数法构造该问题的惩罚函数。